大分期間が空いてしまいましたが、いよいよリーマン予想の主張を説明したいと思います。
これまでの記事一覧です。本記事ではこれまでの記事の内容を前提にお話しするので、先にこちらを読んでください。
導入記事
https://stchopin.hatenablog.com/entry/2020/02/13/193838
素数の数は無限にある
https://stchopin.hatenablog.com/entry/2020/02/14/205857
調和級数
https://stchopin.hatenablog.com/entry/2020/02/22/170740
バーゼル問題
https://stchopin.hatenablog.com/entry/2020/02/22/182338
https://stchopin.hatenablog.com/entry/2020/02/23/124950
前回の記事で、ゼータ関数という関数を下のように定義しました。
そして、このゼータ関数は、素数を使って下のようにもかけました。
このことから、ゼータ関数はすべての素数の情報を含んでいると考えられるので、ゼータ関数の性質を調べれば、素数の性質もわかるようになる、と考えられるわけでした。
さて、皆さん、「関数の性質を調べる」となると、まず何を調べます？
グラフを描きたくなりますよね。
グラフを描こうとすると、大体以下を調べたくなると思います。
・微分したらどうなる？ → グラフの増減、凹凸がわかる！！
・無限大に飛ばしたらどうなる？
・0になる瞬間（ゼロ点）はどこ？
リーマン予想は、最後の「０になる瞬間はどこ？」に着目した予想になります。
お待たせしました。リーマン予想を簡単に書くと、下のようになります。
「ゼータ関数ζ(s)が0になるようなsは、
すべてs=1/2 + it (tは実数）となるだろう」
図で描くと下のようなイメージです。
ゼータ関数が0になるs (ゼロ点）がすべて同じ直線に乗ってしまう（かつそれ以外にはない）だろう
という一大予想です。
これが分かると何が嬉しいか？
リーマンは自分の研究の中で、ある自然数N以下の素数の個数を計算する公式を作っていました。
正確な式は難しすぎて書けないですが、ざっくり上の式のような感じです。
ゼータ関数の情報がなくとも、N/logNだけで大雑把には素数の個数を数えることができますが、どうしても誤差が出てしまいます。その誤差を解消するのに「ゼータ関数のゼロ点」の情報が必要になるわけです。
このゼロ点にきれいな性質があると分かれば、この誤差の式が書けるようになる⇒素数の個数を正確に数えられる⇒素数の規則性が分かる！！
という筋書きです。
後の数学者たちの努力によって、
「例の直線の上には無限個のゼロ点がある」ことは無事証明され、
虚数部分の小さい順に2兆個のゼロ点は全部この直線上にあることが、コンピュータの計算によって確認されています。
しかし、「この直線から外れた例外は1個もない」という証拠を誰も掴めていないのが現状です。少なくとも2兆個のゼロ点には例外がないのですから、正しそうな気がしますが、数学的な証明にはなっていません。
ないことを証明するのは難しい、いわゆる「悪魔の証明」というものです。
リーマンがこの問題を出題してから150年、この予想を完璧な形で証明した人物はまだ誰もいません。幾多もの数学者が挑戦しては敗れ去り、中には精神病になったり自殺したり、、といった例も少なくありませんでした。
こうしたことから、手を出してはいけないタブーのような問題扱いをされてきました。
ところが、このゼータ関数のゼロ点の並び方と、原子核のエネルギーの並び方が酷似しているという事実が分かり、にわかに物理学の方面からもリーマン予想が注目されるようになります。
こんな経緯もあって、現在では数学者と物理学者が共同でリーマン予想に取り組むプロジェクトが動いており、つい先日、「物理の問題を解く過程でリーマン予想の証明に成功した！！」とする論文が発表され、審査されている最中だと思われます。
（※残念なことに、その論文を書いた人は亡くなってしまいました）
ひょっとしたら、数学の世界だけではどうしようもない難問が、物理の力を借りることで解かれるのかもしれませんね。
ということで、長くなりましたが、リーマン予想について簡単に紹介しました。
もし興味を持たれましたら、ぜひ賞金1億円かけて挑戦してみてはいかがでしょうか？（冗談です）
