このシリーズでは、東大に引き続き、平成の京大理系数学の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
京大の数学の問題も、難易度は高いですが良問の宝庫であり、演習価値が非常に高いです。
（時々、どうしようもなく難易度が高く、筆者の力量でも解けない問題が出てくることがありますが、どうかご容赦くださいm(_ _)m )
3回目の今回は、2017年の問題です。
第1問
複素数の軌跡を求める問題です。
(1)(2)ともに、wを極形式で書いてx,yを計算し、パラメータ変数を消去( (1)であれば角度θ、(2)であれば長さr)して、軌跡を求める形です。
＜筆者の解答＞
第2問
四面体の各辺上の点が正八面体を作る時に、その四面体が正四面体であることを証明する問題です。
各点の内分比を文字で置いて、長々と整理していきます。
(1)は、DGベクトルとEFベクトルの各成分を比較すればよいでしょう。
(2)は、さらにDG=EFとなることを利用し、他の辺についても(1)と同じ議論をすることで各部の内分比が分かっていきます。
＜筆者の解答＞
第3問
tanを用いた整数問題です。
当然tanの加法定理を使ってpとqの間の関係式を求めていくのですが、最初に注意すべき点があります。q=1のときはtan2βが定義できないので例外扱いしないといけません。
この例外処理の後はqを2乗として加法定理を処理していきます。結果としてpが、qの分数式を使って書かれるので、これが整数となる条件でqを絞り込みましょう。
具体的には、分子が分母より大きくないといけないので、これでqの候補が絞れます。
＜筆者の解答＞
第4問
鋭角三角形の内接円半径の値の範囲を求める問題です。(1)をヒントにして(2)の方針を思いつけるかがカギになる、やや難しい問題です。
(1)は、「内心」の定義を思い出せば容易に解けます。「内心」とは、「三角形の各頂点の、角の二等分線の交点」でした。
(2) (1)で∠BPCが一定だと分かりました。ついでに∠Aも一定です。角度一定の条件下で点が自由に動く、、ということで、「円周角の定理」を発想できたでしょうか？
AとPはB,Cを通る半径1の円周上の点を動きますので、BCをx軸としてグラフに書けば、内接円の半径rはPのy座標になることが分かります。
rの最大値は、Pが円の一番上に来る瞬間となり、最小値は、△ABCが直角三角形になる瞬間です。
内接円半径というと、面積と外周を使って出す方法が有名ですが、今回はうまくいきません。なぜならBC以外の長さの表現が煩雑になるからです。ということで、円を使う発想に至りました。
＜筆者の解答＞
第5問
曲線で囲まれる面積の最小値を考える問題です。
y=xe^(-x)とx=√2は固定ですが、aの値によって、これらとy=axの交わり方が変わりますので、それによって場合分けです。
積分の計算が面倒ではありますが、標準的な最小化問題に帰着します。
＜筆者の解答＞
第6問
1~5の数字が3の倍数になる確率を求める問題です。
3の倍数になる条件は、ご存知の通り「各位の数字の和が3の倍数となること」なので、
もとのXが3の倍数であれば、「3」がでれば次も3の倍数となり、
Xが3で割った余りが1であれば、「２」「５」がでれば次は3の倍数、
Xが3で割った余りが2であれば、「１」「４」がでれば次は3の倍数、
となるので、これを漸化式で表現すればよいです。
＜筆者の解答＞
