東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、名古屋大学の2019年の問題を取り上げます。
第1問
積分計算と、体積計算の問題です。積分を計算する(1)(2)が前座としてあり、これらを使って(3)で体積を計算するという構成です。
(1)本来であればノーヒントで解けないといけない積分の計算ですが、部分分数展開のヒントがあるのでありがたく使って計算しましょう。
(2) 2乗を無理やり作ってあげると、tanθの微分が作れるので部分積分で計算できます。
(3)円錐を軸と平行な面で切った時の体積を計算する問題です。平面z=tで切った時の断面を考えてtで積分する流れですが、(1)(2)を使うためにtをうまくθを用いて表現したいです。図を描いてどの角度をθとするかをよく考えましょう。
＜筆者の解答＞
第2問
平面に対して斜めに接触する直角三角形に纏わる長さの問題です。
この手の問題は図を丁寧に書いて、どことどこが直角なのかを把握するのが先決です。
(1)は意外に面倒です。与式のベクトルの始点が全部バラバラになっているので、始点を全部統一したくなりますが、うまくいきません。内積=0が登場するように巧妙にそれぞれのベクトルの始点を調整しないといけないので、少し発想が必要になります。
(2)は、(1)を利用します。B'BベクトルとC'Cベクトルが同じ向きをむいているので、両者の内積は必ず正になります。ということは、(1)の式から、AB'ベクトルとAC'ベクトルの内積は負になります 。内積が負ということは、ベクトルのなす角が鈍角ということになります。
(3)(2)から、△AB'C'のうち最も長い辺はB'C'になりますので、この長さが7で確定です。これに気づけば、あとは余弦定理や三平方の定理を何度も使って、辺の長さが計算できます。
＜筆者の解答＞
第3問
√nの小数部分が第1位が0, 第2位が0にならないnの条件を求める問題です。
まずは、これを数式で表現することを考えましょう。これは√nの整数部分をMとしたとき、0.01≦√n - M <0.1 と言い換えることができます。
Mを1から順番に大きくしていったときに、nの満たす条件をそれぞれ考えていきます。
(1), (2)ともにMを1,2,3,・・と大きくしていき全調査すればよいです。
＜筆者の解答＞
第4問
n個の自然数をつなげていった時のサイクルの個数を考える創作問題で、本セットの最難問です。といっても難しいのは(4)だけですが。
(1)は、長さ1のサイクルを含まない個数を考えた方が楽です。長さ1のサイクルは、数列の番号と、その値が一致するものになります。
(2)は、満たすものを総当たりで探すのが、結局一番楽です。
(3)は(4)を解くための寄り道です。y=1/xのグラフで面積の大小比較で証明する、お馴染みのパターンです。
(4)は難問です。長さがn-m (0≦m≦n/2)となる（＝長さが(n+1)/2以上になる）場合の数をmを固定して調べに行きます。長さが(n+1)/2以上のループは1個しか作れないので、これで十分です。
まず、このループを構成する数字の選び方は、nCn-m通りあり、これらの並べ方は、n-m個の数字の並べ方のうち、長さ1のサイクルを含まない場合になります。
この数え方は、n-m人をテーブルに座らせる方法が何通りあるかを数える問題と同じになり、(n-m-1)!通りと計算できます。ここが難しいです。
次に、サイクルに参加しないm個の数字たちの並べ方はm!通りあります。
よって、全ての並べ方がn!通りあるので、長さがn-m (0≦m≦n/2)となる確率Pmは、
Pm = nCn-m * (n-m-1)! * m! / n! と計算できます。
あとは、これをmについてΣ計算すると、(3)の結果も使ってp>log2が証明できます。
＜筆者の解答＞
