東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、九州大学の2019年の問題を取り上げます。
第1問
積分で書かれた関数の最小値とその極限を求める問題です。
この問題は、素直に積分計算実行して最小値を求めればよいです。xとyの2次式になるので、平方完成により最小値が分かります。
計算ミスだけには注意しましょう。
＜筆者の解答＞
第2問
恒等式に関する問題です。
(1)は、fの次数をm, gの次数をnとして次数を比較します。1番目の式の処理は比較的楽なのですが、2番目の式の処理には注意が必要です。
mとnの大小関係によって、右辺の次数が変化するのでそれぞれ検討が必要になります。
(2) (1)でfとgが2次以下だと分かったので、fとgをそれぞれ文字でおいて処理します。
直接係数比較するのもアリですが、なかなか大変なことになります。よって、特別なxの値を用いて、fとgの式の必要条件を出すのが良いでしょう。特別なxの値としては、0,1,-1を用いるのが良いと思います。
この時点で、fとgの式は確定しますが、まだ必要条件であることに注意です（つまり、x=0,1,-1以外で恒等式になることが示せていません）。ちゃんと恒等式になることを確認し、十分条件でもあることを言いましょう。
＜筆者の解答＞
第3問
サイコロの出た目によって決まる2次方程式の解について考える、確率の問題です。
(1)2次方程式が重解をもつので、b^2 - 4ac =0でないといけません。これを満たすa,b,cの組を列挙しましょう。
(2)大きく方程式が実数解を持つ場合と虚数解を持つ場合に大別されます。
実数解を持つときは、x=1,-1の場合、重解としてx=1かx=-1をもつパターンがあるので、それぞれ調べます。
虚数解を持つときは、解α、βは互いに共役の関係なので、|α|=|β|=1つまり、αβ=1となることが条件です。解と係数の関係から、これはa=cと同値です。
(3)題意を満たす２つの直線のなす角が60°という時点で、2次方程式の解は虚数でないといけません。その虚数解は互いに素なので、2つの直線は実軸対称になります。
このとき、直線と実軸が±30°で交わるケースは思いつきやすいですが、直線と虚軸が±30°で交わるケースもありうる、というのを意外と見落としがちなので要注意です。
それぞれの場合について、条件を満たすa,b,cの組を調査しましょう。
＜筆者の解答＞
第4問
正三角形の辺上に規則的に点を打った時の収束先を調べる問題です。
少々手間はかかりますが、P(xn, yn)とおいて、xn, ynの漸化式を立てて一般項を求めに行きましょう。
＜筆者の解答＞
第5問
複素数の軌跡を考える問題です。
条件(ア), (イ), (ウ)を順に検討しましょう。
まず、条件(ア)から、aとbをcの式で表現できます。
次に、条件（イ）から、|w|=1が言えるので、これを処理します。今回の場合は、zは虚軸上を動くと言っているので、z=it (t:実数）とあらかじめ置いて計算を進めます。すると、|c|=1 が求まりますが、cまではまだ求まりません。
ここで、条件(ウ)について考えることになります。ここがこの問題の難しい部分なのですが、wが絶対に-1にならないようなcの条件を考えることになります。
もしc+1≠0だとすると、w=-1となるtが、t=i(c-1)/(c+1) と計算でき、|c|=1のときはこのtは実数となります。つまり、もしc+1≠0だったら、w=-1となるzが存在することになってしまいます。よって、c=-1でないといけないことが分かります。
a,b,cが求まってしまえば、wはtを用いて実部・虚部に分解できるため、wの存在範囲を調べることができます。
結局、Cは円からz=-1を除いただけの図形となります。なんか拍子抜けですね。。
＜筆者の解答＞
