東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、名古屋大学の2018年の問題を取り上げます。
第1問
定積分を使って極限を求める問題です。
(1)は、素直に計算すると、分母がきれいに約分されて計算できます。
(2)は、2段階で解きます。
まず、被積分関数が常にプラスなので、In>0が成り立ちます。これを(1)に適用すれば、Inが1/(n+1)より小さいことが分かります。
次に、In+1 -lnを計算してみると、こちらの被積分関数もプラスになるので、In+1 -ln>0も言えます。
(3)は少し発想が必要です。これまでの情報でははさみうちの定理が使えないので、直接計算しに行きましょう。
(1)にnをかけて無限大に飛ばすと、nInの極限を2倍すると1になることが分かります。
(4)も発想が必要な問題でしょう。なんとかInを登場させたいので、試しに1/2kをInの式で表現できないかを考えます。さらに、隣り合った項の和をΣしているので、なんとか差の形にして、間を相殺したいです。そのために(-1)^nを有効活用しましょう。
最終的にInが0に行くことも利用して答えが出ます。
<筆者の解答>
第2問
指数関数と対数関数の交点に関する問題です。
(1)は直観的には明らかですが、証明しようとなると少々難しいです。ここでは、交点を(p, q)だとしたときに、p=qでないといけないことを証明しに行きます。条件整理するとp^p = q^qという式ができますが、pもqも1より大きい実数となり、x>1でx^xは単調増加の関数となるので、p=qが示せます。
(2)は、a^x - loga(x)の増減を調べればOKです。
(3)は、(1)の事実を使うと、実質y=a^xとy=xの交点の個数を数えればよいことが分かります。(というか、(2)の時点で気づけよって話ですが笑)
y=xがy=a^xの接線になる条件を求めましょう。
<筆者の解答>
第3問
整数問題です。
(1) 2項定理を使って展開すると、pCkの和になります。pが素数の時、これらはpの倍数になります。
(2)は、両者の偶奇が一致するので当然ですね。
(3) (2)の結果から、与式が2の倍数になることが分かります。また(1)を利用すると、結局2^pを2pで割った余りを求めればよいことが分かります。p=2の場合とpが3以上の場合で大きく話が分かれるので、場合分けして検討しましょう。pで割った余りの検討は、2項定理を使うとよいでしょう。
別解ですが、この問題は「フェルマーの小定理」というものを知っていると簡単に解くことができます。まぁ、受験数学ではあまり使わないテクニックですので、参考までにですが。
pがaと互いに素な素数だとすると、a^(p-1) ≣1 (mod p) が成立する。
<筆者の解答>
第4問
点の移動に関わる確率の問題です。(1)でありえる状態を書き出すので、それを出発点にして考えていきます。
(2)(3)は、(3)で漸化式を作ってからa2, b2を求めたほうがミスがないです。
(1)で書いた図から、「ダブることなく同じ正方形上にいるパターン」が4通り、「ダブることなく別の正方形上にいるパターン」は2通りそれぞれ出てきますので、お互いの推移の仕方を考えましょう。
(4)は、(3)を使うことで、pn+1 ≦ (3/4)*pnを言うことができます。これを繰り返し使っていきましょう。
<筆者の解答>