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平成の東北大理系数学 -2016年-

大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、東北大学の2016年の問題を取り上げます。

 第1問

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三角形の垂心の性質を調べる問題です。ベクトルなどを使用しない純粋な初等幾何の証明問題となっています。

 

(1)直角があちこちに出てくるので、円周角の定理を使うことで、B,C,E,Fが同一円周上にあること、またA, F, H, Eが同一円周上にあることが示せます。

 

(2) (1)をうまく利用しましょう。

∠ADE= α、∠ADF = β とすると、円周角の定理を何度も使うことでα = βを示すことができます。

 

ちなみに、これと同じことを残りの角度にも適用してあげると、DH, EH, FHは△DEFの3本の角の2等分線になることが分かるので、Hが△DEFの内心になっていることが分かります。

 

<筆者の解答>

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 第2問

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素数を使った不定方程式を解く問題です。(2)の式は、偶然かもしれませんが、同じ年に出た京大の第2問と似ていますね。。。(1)が(2)のヒントになっています。

 

(1)は、一般に指数関数の方が多項式の方が強いので十分大きいnについては当たり前に成り立つ式です。証明は、数学的帰納法で行います。

 

(2)は実りの多い良問です。

 

まず、偶奇をチェックしてみましょう。方程式で移項してみると、p^q - q^p = 7 となり右辺が奇数になるので、p^q と q^pの偶奇は異なります。この時点で、pとqのどっちかは2で、もう片方が3以上であることが分かってしまいます。

 

よって、p=2の場合とq=2の場合があるので、場合分けしてチェックします。

 

前者の場合は、(1)の結果から、qは5以下でないといけません。5以下の奇素数は3か5なので、個別にチェックしましょう。

 

後者の場合は、2^p = p^2 -7 となりますが、pが自然数の時には左辺が必ず大きくなっているので、不成立です。

 

<筆者の解答>

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 第3問

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サイコロの出た目で三角形を作るシチュエーションを題材にした確率の問題です。

 

(1)直角三角形となるのは、a,b,cがピタゴラス数になっているときです。

 

(2)a,b,cそれぞれについて総当たりで調べましょう。そもそも三角形が作れない場合、鋭角三角形になる場合、直角三角形になる場合、鈍角三角形になる場合があり、鈍角三角形になるのは、(一番長い辺)^2 >  (残りの辺1)^2 + (残りの辺2)^2 になる場合です。

 

<筆者の解答>

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 第4問

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多項式に関する問題です。

 

(1)は、2項定理を使って展開し整理します。本質はi^(7-k)の虚部なので、P(x)の奇数次の項は全て0になって消えてしまいます。

 

(2)は、分子分母にsinθ^7をかけてあげれば、ド・モアブルの定理が使えます。

 

(3) (1)の結果と合わせると、Q(x^2) = P(x) が成立し、(2)の結果からsin7θ = 0となるようなxがP(x)=0の解となります。よって、Q(x) = 0の解は、これの2乗になります。xkの和は、解と係数の関係ですぐに求まります。

 

<筆者の解答>

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 第5問

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2平面の交線に垂直な線分と円に関する問題です。

 

図に落とし込んで、Tと平面α、βとの距離を図形的に求めていきます。

 

(1)は、別解として、lをz軸、OPの方向をy軸とするような空間座標を作って、球面の方程式を組んで解くのも有効です。

 

(2) βによる断面については、上記の方程式での処理が難しいので、図形処理一択です。

 

<筆者の解答>

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 第6問

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絶対値付きの積分を計算する問題です。

 

絶対値を外す必要があるので、sin(t-x)とsin2tの大小関係を調べないといけません。

グラフでの処理は厳しいので、和積の公式による因数分解によって調べるのが良いと思います。

 

これによって絶対値を外すことができれば、あとはひたすら計算です。計算結果は比較的綺麗なsinだけの式にまとまるので、微分は不要です。

 

<筆者の解答>

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