東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、大阪大学の2016年の問題を取り上げます。
第1問
関数列と確率の融合問題です。
(1)は、とりあえずn=5の時までfn(x)の式を具体的に求めていきましょう。
(2) (1)での考察から、r= 1/a+1/bとすると
f2n(x) = sinπ(nr-x), f2n+1(x) = sinπ(nr+x) が予想できるので、これを帰納法で証明します。
これが分かると、fn(0)の値は12周期で決まるので、問題文の式が計算できることになります。
(3) (2)より、f6(0)=0となるのは、3rが整数になる時であり、1/3≦r≦2と範囲が決まるので、rの候補を大分絞ることができます。
あとは、それぞれについてa,bの組を総当たりで調査です。
＜筆者の解答＞
第2問
関数の最大最小を求める問題です。
(1)は、x+y =cという拘束条件からして、相加相乗平均の関係を使いそうです。与式を展開して通分すると、分母のxyについて相加相乗平均の関係を適用できます。
(2) (1)では最小値を問うていて、この問題では最大値を問われています。一瞬戸惑ってしまいますが、x+y+z=1かつ全部正の実数の時、1-4/(3z)は必ずマイナスになります。
よって、実質、(1+1/x)(1+1/y)(4/3z -1)の最小値を求める問題となり、(1)が使える形になります。
(1)でc=1-zとすればよいので、予選決勝法を使うことができます。zを固定して、xとyを動かし、最後にzを動かします。
＜筆者の解答＞
第3問
円と放物線が接するとき、両者で囲まれた図形の回転体の体積を求める問題です。
(1) (a,b)で円と放物線が接するとき、(a,b)での円の接線と放物線の接線が完全に一致します。この条件から求めます。
(2)は図を描いてしまえば典型的な体積の計算問題です。計算ミスのないように慎重に進めましょう。
＜筆者の解答＞
※(2)の答えに一部ミスがありました。√6の符号はマイナスが正解です。
第4問
調和級数に奇数の積をかけた数について考察する問題です。本セット最難問です。
(1)いきなりSnで考えると難しいので、一つ一つの1/kについて個別に考えて足し上げることにします。つまり、tk = 2^N*An/kとして、これの偶奇を考えます。すると、k=2^Nのときだけtkは奇数になり、それ以外は偶数になることが分かります。
(2) (1)より, Sn = (奇数)÷2^N÷Anという形になるので、Sn= 2+ m/20 = (m+40)/20のとき、Nは2以下になります（20は2で2回割り切れるので）。N=0, 1, 2の場合それぞれに対し総当たりでチェックしましょう。
(3)は捨て問と言ってよいと思います。
A20S20を直接計算して、整数部分をできる限り除外していきます。途中(2)で示した式も使うと多少楽になります。
最終的に、2341×(1×3×11×13×15×17×19) を16で割った余りを求めることになります。
＜筆者の解答＞
第5問
正五角形に関する問題です。
(2)は、正5角形の対角線には「黄金比」が出てくることを思い出せると見通しが良いですが、思い出せなくても十分解けます。(1)の式も使いつつ、比の関係を使ってzを求めましょう。（答案の図1参照）
zが分かると、視覚的にベクトルが求まります。
(3)もまた、図形的に求められます。
(4) (3)で相似比が求まったので、面積の比はその2乗になります。あとは、無限等比級数の計算になります。
＜筆者の解答＞
