ちょぴん先生の数学部屋

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平成の北大理系数学 -2015年-

大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、北海道大学の2015年の問題を取り上げます。

 第1問

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2曲線が共通の接線を求める問題です。

 

(1)C1の接線の式とC2の式を連立させて重解を持てばよいです。

 

(2)aをtで微分して増減を調べます。

 

<筆者の解答>

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 第2問

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数列の問題です。

 

(1)bnは、この変換によって階差数列の形になります。

 

(2)an+1≧anから出てくるpの不等式を直接解くのは難しいので、まずa2≧a1となるpの条件を求めてみましょう。これが必要条件です。これが、a3以降でも成立することを確かめます。

 

<筆者の解答>

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 第3問

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ベクトルの標準的な問題です。

 

(1)OC = aOA + bOBとして与えられた条件を処理しましょう。

 

(2) (1)ができていれば瞬殺です。

 

(3)PHベクトルとaベクトルとの内積=0、かつPHベクトルとcベクトルとの内積=0で求めます。

 

<筆者の解答>

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 第4問

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確率の問題です。非常に易しい問題です。

 

高々2回分しか考えないので、ミスなく袋の中身を調べればお終いです。

 

<筆者の解答>

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 第5問

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積分で書かれた関数を処理する問題です。

 

(1)sinθを一個分どけて部分積分をやってみましょう。

 

(2)与式の積分の中にxとθが混在しているので、しっかり分離するのが第一歩です。分離をした後xで微分してx=π/2を代入すると、(1)の形の積分が出現します。

 

(3)x=π/2を代入して頑張って積分計算をやり切りましょう。

 

<筆者の解答>

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