東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、北海道大学の2014年の問題を取り上げます。
第1問
共通接線を求める問題です。
(1)は教科書レベルの基本問題ですね。
(2)共通接線の式とy=f(x)を連立すると、(x-a)^2*(x-b)^2 = 0 と因数分解できることを利用します。
＜筆者の解答＞
第2問
空間内の三角形の面積に関する問題です。
(1)双曲線pq=1/2と直線p+q=tとが交点を持つ条件を考えればよいです。
(2)CPベクトルとCQベクトルをそれぞれ計算すれば、三角形の面積の公式が使用できます。
(3) (2)ができていればおまけのような問題です。
＜筆者の解答＞
第3問
行列の漸化式を考える問題です。
(1)数学的帰納法による証明になります。An +E を漸化式から無理矢理作りましょう。
(2) (1)の関係式をうまく使うと、Bnは等比数列のようになります。
＜筆者の解答＞
第4問
最短経路の数え上げ問題です。
(1) Sからaの左端に到達する経路数と、aの右端からGに到達する経路数を考えます。
(2)「通り抜けない」は考えにくいので、「bを通る経路数」ー「aかつbを通る経路数」を考えるとよいでしょう。
(3) (2)と同様に、a,bの通過有無で経路数をすべて調べましょう。
＜筆者の解答＞
第5問
絶対値を含んだ積分の関数を考える問題です。
(1)とにもかくにも絶対値を外さないと話が始まりません。xの値によって絶対値の外れ方が変わってくるので、個別に考えます。y=sinθのグラフを描いて視覚的に調べるとよいでしょう。
（※xの範囲がこの時点では指定されていないので、とりあえず１周期になる2πまでで考えました。(2)でπまでと指定があるなら、(1)の時点で指定してほしかったですね。。）
(2) (1)の結果を使ってf(x)の増減表を書きます。
＜筆者の解答＞
