東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、九州大学の2011年の問題を取り上げます。
第1問
ルート関数が絡んだ面積の問題です。
(1) PHがy=xと垂直になることから攻めていきます。
(2)グラフに落として面積を計算します。積分をできるだけしなくて済むように、図形的に面積を考えられるものはそれで考えていきましょう。
(3)S2を具体的に計算してS1=S2という方程式を解きましょう。X=√tと置き換えると見通しがいいです。
＜筆者の解答＞
第2問
2次関数と指数関数が3点で交わる条件を求める問題です。
(1)は素直に微分して増減を調べます。
(2)g(x)=x^3*e^(-x)の増減を調べるとx≧3で単調減少となります。x^2*e^(-x)の極限は、先に示した不等式を使ってはさみうちの定理です。
(3)は、２つの式を連立すると、f(x) = kとなり、(1)がつかえる格好になります。(2)の結果を使うと、f(x)は0に収束し、かつ極大値は必ず0より大きな値になります。よって、極小値が0になるかプラスになるかマイナスになるかで場合分けが発生することになります。
＜筆者の解答＞
第3問
漸化式の問題です。勘のいいひとは、漸化式の形を見ただけで何かが思い浮かぶでしょう。
(1)は、とりあえず具体例で検証する問題です。この時点で閃くでしょうか？
(2)は、「気づいてくれ！！」という九大の心の叫びです。
唐突にtanが登場しています。tan15°自体は、45°-30°の加法定理か、30°の半角公式によって計算できます。が、この設問の真の意図は、、、
(3) (2)までやって閃かなければお手上げです。
もうお気づきでしょうが、anの漸化式は、tanの2倍角の公式その物になっています。この事実に気付いてほしいが故の(1)(2)だったわけです。
よって、an= tan (π/10*2^n-1) と書くことができるので、順次計算するとn≧3で4周期になっていることが分かるわけです。
＜筆者の解答＞
第4問
四面体の体積を計算する問題です。
(1)球面の式を立てて、4つの式からなる連立方程式を解くことになります。時間はかかりますが、ミスなく解きたいところです。
(2)A, B, Cを通る平面とDとの距離が求めるものなので、A, B, Cを通る平面の式を出すのが最も確実な方法でしょう。
(3) (2)で高さが求まったので、あとは底面△ABCの面積が分かってしまえばお終いです。
＜筆者の解答＞
第5問
カードを次々に入れ替えていく状況を考える、確率の問題です。
(1)の状況が起きるのは、2回とも同じ数字が入れ替わる時です。
(2)の状況が起きるのは、1と4が入れ替わり、2と3が入れ替わる時です。両者の順番はどちらでも構いません。
(3)が起きる状況は、1が動かないときと動いて戻ってくる場合に分かれるので、場合分けして調べます。
(4) 一番左が1,2,3,4になる確率をそれぞれ考えていきますが、1の場合だけが特別で、2-4は全て等確率で起こります。
一番左が1になる場合は、1が動く回数によって場合分けして考えます。特に、1が2回動くときは、1が動くのが何回目なのかによっても場合分けをしないといけないので、面倒です。
＜筆者の解答＞
