東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、北海道大学の2010年の問題を取り上げます。
第1問
2本の放物線の共通接線についての問題です。
(1)C1の接線がC2にも接する、つまりC1の接線の式とC2の式とを連立させると重解を持つ、という条件から考えます。
(2)C1とC2の交点も求めて計算です。
<筆者の解答>
第2問
行列の問題です。
(1)与式を変形すると、A×△ =Eと書けるので△がAの逆行列になります。
(2) 与式がまさに、ケーリーハミルトンの定理の形をしています。
(3) (2)と、(1)で求めたAの逆行列の式を使います。
<筆者の解答>
第3問
漸化式の問題です。
(1)とりあえず実験してみよう、という設問です。
(2) (1)で一般項の予想ができるので、帰納法で証明しましょう。
(3)は少し閃きが必要です。京大の1989年の過去問に類題があります。
これを解いた経験があれば、sin(θ/2^n)をかけると、2倍角の公式が次々に出てきて最終的にsinθの式で書ける、と気づけます。
とはいえ、これを初見で思いつくのは厳しいでしょう。
<筆者の解答>
第4問
(筆者注:(1)のI1は、∫te^t dt)
積分を使った絶対値付きの関数についての問題です。
(1)部分積分を繰り返して計算します。
(2)tの値によって絶対値の外れ方が変わるので、区間を分けて計算を進めましょう。(1)が使えるように、適宜変数変換も使うとよいでしょう。
(3) f(x)を微分すると、x=1/2のときf'(x)=0となることが分かりますが、これだけでは極大なのか極小なのかが分かりません。
これを知るには、f''(x)がプラスかマイナスかの情報が必要で、マイナスの時極大となります。
<筆者の解答>
第5問
3人が順番にくじを引いていく確率の問題です。
(1)n-1回まで外ればかり引き、n回目であたりを引く確率を計算します。階乗の割り算がバンバン出てきますので、約分に注意しましょう。
(2)Aがくじを引くのが3k-2回目、Bが引くのが3k-1回目、Cが引くのが3k回目なので、(1)の確率を全て足してあげればよいです。
<筆者の解答>