東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、名古屋大学の2010年の問題を取り上げます。
第1問
立方体を切断する平面に関する問題です。
(1)Kが、平面上OMN上にあり、かつ線分PD上にあるという2つのベクトルの条件を処理します。
(2)同様にLの座標を求めると、四面体OKLPは、底面は△OPL, 高さがKのy座標とみなすことができます。これによってV(t)が求まるので、微分して増減を調べます。
<筆者の解答>
第2問
(1)変曲点まで知りたいので、f(x)を2回微分しましょう。
(2) (0.a)を通りx=tでy=f(x)に接する直線をtの方程式とみなしたときに, 実数解が1個だけになる条件を調べます。a=g(t)とかいた時のg(t)のグラフを書けばよいでしょう。
面積は、単なる積分の計算ですので、計算ミスに注意です。
<筆者の解答>
第3問
コインの出た面に応じて玉を交換し合う、確率の問題です。
誰が赤を持っているかで状態を分けるとよいでしょう。これに基づいて漸化式を作りましょう。
漸化式を解く過程で、anを出すときに工夫が必要です。
<筆者の解答>
第4問
放物線上にある格子点に関する問題です。
(1)xが2と3の最小公倍数、つまり6の倍数であればyが整数になります。
(2)一見すると何をすればわかりにくいですが、(1)を参考にすると、aとbがもし有理数なら、xがaとbの分母の最小公倍数ならyは整数になります。よって、格子点が2つとれるならaとbが有理数になるのではとあたりを付けられます。
格子点が(m, M)と(n, N)の2つとれるとき、aとbの連立方程式ができるので、aとbを求めることができ、aとbが有理数であることがわかります。
<筆者の解答>