ちょぴん先生の数学部屋

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平成の名古屋大理系数学 -2010年-

大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、名古屋大学の2010年の問題を取り上げます。

第1問

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立方体を切断する平面に関する問題です。

 

(1)Kが、平面上OMN上にあり、かつ線分PD上にあるという2つのベクトルの条件を処理します。

 

(2)同様にLの座標を求めると、四面体OKLPは、底面は△OPL, 高さがKのy座標とみなすことができます。これによってV(t)が求まるので、微分して増減を調べます。

 

<筆者の解答>

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第2問

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(1)変曲点まで知りたいので、f(x)を2回微分しましょう。

 

(2) (0.a)を通りx=tでy=f(x)に接する直線をtの方程式とみなしたときに, 実数解が1個だけになる条件を調べます。a=g(t)とかいた時のg(t)のグラフを書けばよいでしょう。

面積は、単なる積分の計算ですので、計算ミスに注意です。

 

<筆者の解答>

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第3問

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コインの出た面に応じて玉を交換し合う、確率の問題です。

 

誰が赤を持っているかで状態を分けるとよいでしょう。これに基づいて漸化式を作りましょう。

漸化式を解く過程で、anを出すときに工夫が必要です。

 

<筆者の解答>

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第4問

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放物線上にある格子点に関する問題です。

 

(1)xが2と3の最小公倍数、つまり6の倍数であればyが整数になります。

 

(2)一見すると何をすればわかりにくいですが、(1)を参考にすると、aとbがもし有理数なら、xがaとbの分母の最小公倍数ならyは整数になります。よって、格子点が2つとれるならaとbが有理数になるのではとあたりを付けられます。

 

格子点が(m, M)と(n, N)の2つとれるとき、aとbの連立方程式ができるので、aとbを求めることができ、aとbが有理数であることがわかります。

 

<筆者の解答>

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