東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、大阪大学の2010年の問題を取り上げます。
第1問
積分の計算問題です。
(1)は、f(x)を２回微分する計算をやるだけです。
(2)は、もちろん(1)を使います。積分の中身で一番うっとおしいのがe^[-f(x) ]なので、これを何とかしましょう。 一般に、e^(logA) = Aとなるので、(1)を使うと、
e^[-f(x)] = e^[ logf''(x)] =f''(x) とすっきりします。あとは部分積分を使って計算を進めていきましょう。
＜筆者の解答＞
第2問
楕円と双曲線の接線に関する問題です。
C1, C2の交点を求める ⇒l1, l2の式を求める ⇒y切片を求める という流れをそのままたどればよいです。
最小値は、相加相乗平均が使える形になっています。
＜筆者の解答＞
第3問
整数問題です。
一見すると解法が浮かびにくいので、とりあえず2mをかけることで分数を解消してみます。
すると、(2m + 2n - mn)*l =4m となり、2m +2n -mnがプラスでないといけないとわかります。
一方で、2m +2n -mnは、2次の係数がマイナスなので、mとnがどんどん大きくなるといずれマイナスになってしまいます。よって、プラスになるm,nはだいぶ限られるのでは？と想像できます。ここが突破口です。
これによってm,n の候補を絞ったら、個別にチェックします。
この問題は、「オイラーの多面体定理」を背景に持つ式になっていて、実は「正n角形を合計l個使って、1つの頂点にm枚ずつ配置するように立体を作る方法が何通りあるか？」という問いと対応しています。
詳しくは、こちらの記事で解説しました。
正多面体は5種類しかない ～オイラーの多面体定理～ - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
＜筆者の解答＞
第4問
２つの球の隙間を通過する球の通過領域の体積を求める問題です。
いきなり空間で考えることは厳しいので、平面に落として考えます。
大きい円の内側かつ小さい円の外側に半径１の円がすっぽり収まる状況を考えて、その円の通過領域D0を回転してあげればDができます。
よって、D0を求めることに終始しましょう。
＜筆者の解答＞
第5問
立方体の頂点を行き来する2つの点を考察する確率の問題です。
(1)は、P, Qの移動先の組み合わせのうち、PとQがぶつからない組み合わせをすべて列挙します。
(2) (1)での考察から、PとQの位置関係は、ダブっているか常に正方形の対角線の両端になっていることがわかります。
一回の移動でP, Qがぶつからない確率は7/9で、これが連続すればよいわけです。
(3)も(1)を参考にして、状態の行き来を考えて漸化式を立てます。
(4) (3)で立てた漸化式を解きましょう。その際、rn = pn +qn に気付けると楽になります。
＜筆者の解答＞
