東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、九州大学の2010年の問題を取り上げます。
第1問
三角形の辺の長さに関する問題です。
(1)は、余弦定理を２回使えばよいでしょう。
(2) (1)の式を使ってtを求めます。bとaの大小関係によって場合分けが発生します。
(3) (2)で求めたtが0≦t<1となる条件を求めればよいです。すると、辺の大小関係と、三平方の定理もどきの不等式が出てくるので、角度の大小関係に直せます。
＜筆者の解答＞
第2問
さいころの合計得点を考える確率の問題です。
(1) 得点と確率の対応表を書いてしまいましょう。
(2) (1)の時と比べて、得点が6になる確率だけが1/6増えます。
(3) (2)と同様に、5,6のとき２回目やらない、4,5,6のとき２回目やらないという具合に２回目を振らない範囲を広げていくと、その分確率が変化するので、逐一期待値を計算しなおしていきます。
＜筆者の解答＞
第3問
1/x^2の接線を規則的に作っていく問題です。
(1)Q1の座標を(-b, 1/b^2)として、Q1での接線がP1を通るとしてbを求めていきます。
(2) (1)と同様にP2を求めてあげればよいです。
(3) (1), (2)から、Pn, Qnの座標を一般的にnの式で書くことができます。
(4) Snは等比数列なので、等比級数の極限を考えればよいです。
＜筆者の解答＞
第4問
サイクロイドについての問題です。教科書レベルの問題なので、落とせません。
(1)円の進んだ距離と、消費した円弧の長さが等しいことを利用します。
(2), (3)ともに、面積、長さの公式に当てはめて積分計算するだけです。
＜筆者の解答＞
第5問
放物線上の点を１次変換で移動した点の軌跡を考える問題です。
(1), (2) Pの座標を(t, t^2)と書いたとき、X=at + bt^2, Y=ct + dt^2 となるので、X, Yの各条件式に代入したときに、それらがtの恒等式になるためのa,b,c,dの条件を求めましょう。
(3)も(1)(2)と同じように考えればよいのですが、問題文にアンダーラインがある通り、直線全体を描くという点に注意が必要です。
XとYの式はどっちもtの２次式になっています。2次式ということは、最大値ないし最小値が必ず存在するので、XとYはすべての実数を動けません。よって、XとYがすべての実数を隈なく動けるようにするためには、２次の係数b, dがともに0でないといけないです。
また、直線には、Y=pX+qとかけるタイプと、このようにかけないX=rの２タイプがあることにも要注意です。
＜筆者の解答＞
