東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、大阪大学の2009年の問題を取り上げます。
第1問
三角形の面積の総和を考える問題です。
(1)まず、問題文に従ってakの漸化式を立てましょう。すると、3項間漸化式になり、これを解く過程で、ak+1 -akの漸化式が得られます。
（答案ではakの一般項まで求めていますが、この問題ではak+1 -akの漸化式さえわかっていれば解けるので、akの一般項までは不要です。。）
面積の公式を使えば、Tkが等比数列になることが分かります。
(2)等比数列の無限和ですので、簡単です。
＜筆者の解答＞
第2問
1次変換した点の存在領域を考える問題です。
Aはあからさまに回転行列（と1/2縮小）なので、A^nの式が簡単に求まり、結果Pnの座標が求まります。
このときDkは第3象限にあるので、Pnが第3象限にある場合は、nが3で割り切れる奇数の場合に限ります。そのもとで、直線の不等式をみたす条件を考えます。
＜筆者の解答＞
第3問
無理数が絡んだ整数問題です。
この問題は、A,Bを有理数、αを無理数としたときに、Aα+B=0が成立するならば、A=B=0でなければならない、という性質を利用して解いていきます。
方針に迷うかもしれませんが、整数問題の基本3大ツール
1. 積の形を作る
2. 余りを考える
3. 大小評価する
のどれかを試すことを考えましょう。今回は、積の形をつくる方法がうまくいきます。
＜筆者の解答＞
第4問
ベクトルの問題で、これは難問の部類に入ると思います。
(1)とりあえず、OQベクトルをOPベクトルをつかって表現することが第一歩です。
これは垂線という条件を使うことで求まります。
次にOPベクトルをOAベクトルとOBベクトルで表現します。これには、与式の関係式を利用します。
これらを使ってMQベクトルを表現しに行くと、OBベクトルのみで書けることが分かります。
何が未知数で何が既知なのかが混乱しやすい難問と言えます。
(2) (1)ができていれば、一瞬で解けてしまいます。
＜筆者の解答＞
第5問
不等式評価と極限の問題です。
(1)関係式を色々使うと、1-qn^2 = (e^qn -1 )^2/ n^2 と求まるので、結局、e^qnとeの大小関係が分かればよいわけです。C2の式から、0≦qn≦1とわかるので、e^qn≦eが言えます。これが求まれば、はさみうちの定理を使うことでqnの極限が求まります。
(2)はlogの積分計算ですので、部分積分を使って地道に計算あるのみです。
(3) (1)(2)ができていれば、容易く求まります。
＜筆者の解答＞
