東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、大阪大学の2008年の問題を取り上げます。
第1問
行列の漸化式の問題です。いきなり取っつきにくい難問が出てきました。
(1)漸化式に、右からE-Cをかけてあげると、CとE-Cは入れ替え可能なので、An(E-C)の漸化式ができます。
ここからどうすればいいか方針が立ちにくいので、とりあえず小さい数で実験してみましょう。
n=1,2,3と計算していくと、規則性に気が付くので、これを数学的帰納法で証明することになります。
(2) (1)の結果からC^nが分かれば十分ということになります。ケーリーハミルトンの定理を使うと、C^3mを計算することができます。
＜筆者の解答＞
第2問
半直線を題材にした、線分の長さを考える問題です。
(1)とりあえずOA=x, OC=yとおいて、OMベクトルとONベクトルをOAベクトルとOCベクトルで表現することを考えてみましょう。xとyが消えてくれるのか不安を抱えたままMNを計算するわけですが、無事消えてくれます。
(2)s=cosθ, t=sinθとパラメータ表示してθを動かすと分かりやすいでしょう。
＜筆者の解答＞
第3問
関数と整数の融合問題です。
(1)f''(x)が常にマイナスになること、f'(x)が単調減少でかつ0を跨ぐことを説明しましょう。
(2)与えられたanの式で対数を取れば、(1)のf(x)が登場します。よって、y=f(x)のグラフとy=log(an)が何点交わるかを考えればよいわけです。
(3)は難問です。
f(n)= MとなるnがAとBの２つ存在するとき（A<B)に、AとB,nの満たすべき条件を考えることになります。
Mがanの最大値となるので、f(x)の形からB=A+1でないといけません。そうすると、AとBが互いに素となるので、A=1でないと、A^(N-A) = B^(N-B)が成立しえません。
ここまで考えれば、A=1, B=2, N=2が確定します。
＜筆者の解答＞
第4問
回転体の体積の問題です。やることは典型問題なのですが、e以外の指数関数の微分積分の経験の有無が問われています。
(1)計算そのものは定石どおりです。が、2^xを積分すると、1/log2が余計に掛け算されることに要注意です。
(2)も同様に、2^xを微分すると、log2が余計に掛け算されます。
＜筆者の解答＞
第5問
確率の問題です。これもなかなかの難問です。
(1)最初の数回の出方によらず、表が500回連続で出る直前に裏が出て、その後表が500回連続で出ればよいわけです。
(2)nが1001以上になると、前半の500回(+α)で終了してしまうリスクが生じます。
終了条件は、最後の出方が、裏⇒表500回 なので、その前に表500回連続が起きないケースを考えればよいわけです。
前半で表500回連続が起こってしまう場合を考えて、全体から引き算する方が考えやすいでしょう。
(3) (2)と同様に考えると、p(n)は、
n-500回目までに終了せずに、その後に裏⇒表500回と出る確率となります。
n-500回目までに終了しない確率は、1-p(500)-p(501-・・-p(n-500)で計算されます。
＜筆者の解答＞
