東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、九州大学の2007年の問題を取り上げます。
第1問
関数と直線に挟まれる面積を考える問題です。
(1)直接微分して調べてもOKですが、f(x)がx≧0で下に凸なことを言えれば証明できたことになります。
(2)(1)で、fとgの上下関係が変わらないことを示しているので、区間分けの必要もなく素直に積分計算できます。
＜筆者の解答＞
第2問
行列の漸化式の問題です。
(1)漸化式に従って計算あるのみです。
(2) (1)の結果から、Anの形の予想がつくので、まずはそれを帰納法で証明しましょう。
Anが求まれば、Δnも求まるので、極限計算は容易です。
＜筆者の解答＞
第3問
球面に内接する四面体の体積を考える問題です。
(1)内積を素直に計算すればよいでしょう。△ABCの面積も公式に当てはめるだけです。
(2)sinθの方は内積の結果から簡単に求まります。図形的に、OH =ODsinθが分かるので、OHも簡単に分かります。
（OHの解法は、今、文章を書いているときに気が付きました笑。答案では、それに気づかずに内積とかを使って回りくどくOHを計算してます。。恥ずかしい）
(3)体積が最大となる時は、△ABCを底面としたときの高さが、OH+Sの半径になる時なので、Sの半径さえわかればOKです。
＜筆者の解答＞
第4問
サイコロの目によって決まる2次方程式の解について考える確率の問題です。
(1)(2)のどちらも、2次方程式の判別式がカギとなります。
(1)の場合は、判別式がプラスとなるような、(2)の場合は、判別式が平方数となるような(a,b,c)の組み合わせを考えることになります。
(2)を解くときに、(1)の後半部分が地味に役立ちます。
＜筆者の解答＞
第5問
関数の基本周期を考える問題です。
(1)は、教科書レベルの簡単な問題です。
(2)から難しくなっていきます。
f(x+p)=f(x)に、x=-p/2を代入すれば、f(p/2) = f(-p/2)がまず示せます。一方で、与えられているf(x)は-xを代入すると符号が反転する奇関数となっています。これによりf(-p/2)=-f(p/2) もまた言えるので、両者を合わせれば、f(p/2) = f(-p/2)= 0が示せます。
この事実を使うと、npが2πの整数倍、mpがπの整数倍であることも分かります。
(3)mとnが互いに素な時、mp=Aπ、np=2Bπ （A,Bは自然数）の形に描くことができ、pを消去すると、nA = 2mBとなります。
ここで、右辺が2を含んでいるので、nが素因数2を含むか含まないか、すなわちnが偶数か奇数かによって場合分けが生じます。
どちらの場合も、n,mが互いに素なら、Aはmの倍数、Bはnの倍数だという事実を利用します。
＜筆者の解答＞
