ちょぴん先生の数学部屋

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平成の北大理系数学 -2006年-

大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、北海道大学の2006年の問題を取り上げます。

第1問

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値の範囲を求める問題です。

 

一見すると3文字ですが、x,y,zの関係式があり1文字消去できるので、実質2文字になっています。

 

(1)zを消去して、不等式に代入すると、xとyの存在範囲が図示できます。

 

(2) k=3x-y+z=x-5/2y+1/2として、この直線と(1)の範囲が共有点を持つkの範囲を求めます。

 

<筆者の解答>

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第2問

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ベクトルの問題です。見た目はゴツイですが、さほど難しくありません。

 

(1) 各ベクトルの成分表示を計算するだけです。

 

(2)O, P, P'が同一直線上にあるとき、OPとOP'が平行になりますので、OPとOP'の係数の比が一致します。

 

(3)A0P=1 が成立するので、これに(2)を代入してp,qの関係式を求めましょう。

 

<筆者の解答>

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第3問

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角度の最大値を考える問題です。

 

(1)余弦定理を考えればよいです。

 

(2)θが最大となる時、cosθは最小となります。

 

<筆者の解答>

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第4問

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cosの積の積分についての問題です。これは、任意の関数をsinとcosの足し算の形に分解する、「フーリエ級数展開」の基礎になる積分となります。

 

(1)三角関数の積の形を見たら、足し算の形に分解することが基本です。加法定理を使うと、2cosmxcosnx = cos(m-n)x+cos(m+n)x とできるので、これを積分すればよいのですが、m-n=0 ないしm+n =0 となる時のみ、例外扱いになるので、個別に考える必要があります。

 

(2) (1)の結果から、Im,nが0以外の値になるのはm=nの時だけだと分かります。よって、JnのΣも実質coskx^2だけ考えればいいわけです。

 

<筆者の解答>

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第5問

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非常に易しい確率の問題です。

 

(2)から先に考えたほうが楽でしょう。(1)は(2)の答えにr=4を代入するだけですので。

 

直前と違う目が出る確率が5/6, 同じ目が出る確率が1/6となるので、

k-1回目まで違う目が出続け、k回目で同じ目が出ればよく、k=2,3,・・・,rで足し上げれば求める確率となります。

 

<筆者の解答>

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