東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、大阪大学の2006年の問題を取り上げます。
第1問
直線と曲線で囲まれた面積を考える問題です。
(1) Anのx座標をxnとすると、xnは、x=xsinx^2の0でない正の解になります。これを解きましょう。そのうえでf'(xn)が1になることを確認です。
(2)2曲線のグラフを書いて素直に面積計算すればよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第2問
点の軌跡を求める問題です。
mの式を文字でおいて、P,P'の座標を求め、Qの座標を求めていきます。
工程は長いですが、Qが双曲線上にあることがわかります。
＜筆者の解答＞
第3問
n個の連続した実数の積を分数にした式についての問題です。
一見誘導形式に見えますが、(2)は(1)と無関係に解けます。
(1)は、右辺を通分して係数比較してあげればよいでしょう。
(2) (1)を使おうかと考えましたがうまくいかず、結局(1)を忘れて数学的帰納法で解くことにしました。とはいえ、右辺の計算の道のりが非常に長く忍耐力が求められます。
＜筆者の解答＞
第4問
ベクトルの問題です。
Gが△OPQの内部にある条件は、OG=sOP+tOQと書いた時に、s>0かつt>0かつs+t<1となることです。これをひたすら処理することに終始します。
＜筆者の解答＞
第5問
正方形内部の光の反射に関する問題です。本セット最難問です。
(1)以前東大の過去問で、正三角形内部の光の反射の問題を紹介しましたが、それと同じように、いくつも正方形を折り返して直線で結んでいきます。
光線が４つの辺できっちり反射される条件を考えましょう。
(2)こちらは、(1)の路線ではどうしようもないので、光線の経路を正方形の中に直接書き込んでいきます。
四角形PQRTの面積は、正方形全体から、取り巻きの３角形たちを取り除くことで求まります。
＜筆者の解答＞
