東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、九州大学の2006年の問題を取り上げます。
第1問
対数を含む方程式の実数解についての問題です。
(1) f(x)=logx/xの増減を調べて、1/3nが極大値より小さいことを示しましょう。
(2)f(x)のグラフを書けば、αnとβnの配置がわかります。あとは、f(e^(1/n) )とf(ne)の値と1/3nとの大小関係を調べればOKです。
＜筆者の解答＞
第2問
ベクトルの問題です。
(1)は典型問題です。QについてはOP上にあり、かつAM上にあるという条件から求めます。
(2)ORはaベクトルの定数倍です。これとQR⊥AMという条件からORを求めます。
(3) (2)ができれば瞬殺です。
＜筆者の解答＞
第3問
整数問題です。
(1)平方数を３で割った余りが0か1になることに注目して考えます。
akとbkが互いに素だと仮定すると、もしak+1とbk+1が公約数gがあった時に矛盾する という流れです。公約数gは、素数としても一般性を失わず、素数とした方が見通しが良くなります。
＜筆者の解答＞
第4問
絶対値付関数についての問題です。
(1) sinx-1/2が1/2か-1/2になっていればよいです。
(2)xの値による場合分けが当然発生することになります。
(3)f(x-π/2)がどの形の関数になるかを考えないといけません。その形はaの値によって変わりますので場合分けです。
＜筆者の解答＞
第5問
定義域と値域が一致するかを考える問題です。
(1)f(x)のグラフを書けば明らかでしょう。
(2)はaとbの間にf(x)の軸が来るか否かによる場合分けが必要で、その都度f(a)=aかつf(b)=bになるか、あるいはf(a)=bかつf(b)=aになるかを考えないといけません。特に後者の検討が難しいポイントです。
＜筆者の解答＞
