東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、名古屋大学の2004年の問題を取り上げます。
第1問
すごろくを題材にした確率の問題です。この問題の特徴は、8をオーバーしそうになったらその分逆走するという点です。これが問題を難しくしています。
(1)n=2では、まだ逆走の影響がないので考えやすいでしょう。
(2)n=3から逆走の影響が出始めます。3回分の出方を総当たりで調べるほかないです。
(3)一度3に到達すると、2以下に戻ることはないので、一度も8に達することなくk回後に3,4,5,6,7にいる確率を定義して漸化式を立てます。
3,4,5,6,7のどこにいようとも次に8に達する確率が1/6なので、これらの確率の合計値を求めれば十分です。
＜筆者の解答＞
第2問
連立方程式の解を考える問題です。
(1)うまく式を選んで足し引きすると、左辺が全く同じな2本の方程式ができます。方程式が解けるためには、右辺が一致していないといけません。
(2) (1)の解が(ⅱ)も満たし、かつ一通りでないといけないので、解の候補がさらに絞られます。
＜筆者の解答＞
第3問
cosの倍角を題材にした関数列の問題です。
(1)は、帰納法で示しましょう。
(2) |x|≦2となる解は、(1)を使うと求めることができます。このとき、x=2cosθの形以外の解がある可能性を排除できていませんが、fn(x)=0はn次方程式で、2cosθの形の解がn個求まってしまうので、これ以上解がないことが示せます。
ここからxnの形が求まるので、積分をガリガリ計算していきます。
(3) (2)ができていれば、sinx/x→1を使うテンプレの極限計算となります。
＜筆者の解答＞
第4問(a)
例のごとく第4問は選択問題です。今回はどちらを選んでも大差ないです。
(a)問題は、円の内接、外接を考える問題です。
この問題は、計算がしやすいように座標軸を設定して図に書いてしまえば、中心間距離と半径の関係をガリガリ使って解くことができます。
＜筆者の解答＞
第4問(b)
(b)問題は、整数問題です。
この問題は、ユークリッドの互除法を使って、xn+1, xnの最大公約数を計算しに行きます。
＜筆者の解答＞
