東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、大阪大学の2004年の問題を取り上げます。
第1問
複素数を用いた不等式証明の問題です
(1)は帰納法を使えばいいのですが、少々難しいです。進めていくと分かるのですが、複素数の和の実部が正になるのか否かを議論することが必要になります。
(2) (1)でzkの絶対値を1として、zk=cosθk +isinθk として計算しましょう。
＜筆者の解答＞
第2問
数列の約数に関する問題です。
(1)ユークリッドの互除法を使うと、a1とa2の最大公約数が、3pの約数になることが分かります。そしてpが公約数としてNGなことを説明しましょう。
(2) anについて３項間漸化式を立てると、a1, a2が両方3の倍数ならanが全て3の倍数になることが分かります。
さらに(1)からa1が3の倍数ならa2も3の倍数であることが分かります。
よって、a1が3の倍数になるp,qの条件を考えましょう。
＜筆者の解答＞
第3問
面積の極限を考える問題です。
これは、Snの方もn等分して考えると分かりやすいです。面積を計算しやすいように座標軸を決めてSn/nを計算しましょう。
＜筆者の解答＞
第4問
いわゆる「ロジスティック写像」を題材にした数列の問題です。
問題文にある漸化式は、「ロジスティック写像」と呼ばれる有名な漸化式で、初期値aを少し変えるだけで挙動がハチャメチャに変わってしまう、「カオス」の最も初歩的な例として有名です。
(1), (2)ともに、方程式を解く、ないし解の個数を数える問題となります。(2)の方は、x2=aとならないように、慎重に考察する必要があります。
(3)n=2の時を考えることで、rの必要条件が分かります。これが十分条件にもなっていることを説明します。
＜筆者の解答＞
第5問
条件を満たす半径の比を考える問題です。
(1)は、座標に余り頼らず図形的に考察したほうが楽です（結果論ですが。。。）r/Rの式は思ったよりだいぶ複雑な形です。
(2) 大分複雑な式なので、このままいきなり微分するのは現実的ではありません。r/Rの式をできるだけ簡単にして、増減を調べやすい形にする工夫が必要です。
＜筆者の解答＞
