東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、北海道大学の2003年の問題を取り上げます。
第1問
２つの2次方程式の交点を考察する問題です。
(1)連立してできる2次方程式の解と係数の関係を使って処理しましょう。
(2)(1)を使うとbを消去できるので、aの方程式とみなしたときに解を持つ条件を求める、お馴染みの流れです。
(3)は(2)までと独立しているので、改めてbの式を求めて処理します。微分しても良いですが、相加相乗平均の関係を使えると楽に処理できます。
＜筆者の解答＞
第2問
複素数平面の問題です。
(1)複素数が実数になる条件は、複素共役ともとの数が等しくなることです。
(2) (1)でzの軌跡が2種類求まるので、それぞれについて成分表示して個別に検討しましょう。
＜筆者の解答＞
第3問
微分方程式の問題です。
(1)Vとhの関係式を求めればよいです。
(2)微分方程式を解いてhをtの式で表現しましょう。
＜筆者の解答＞
第4問
すごろくを題材にした確率の問題です。
(1)+1の移動がa回、-1の移動がb回発生するとして、aとbを求めましょう。
(2) (1)と同様にして確率の分布を計算しましょう。
(3)高々6回なので、6回分の移動の仕方を列挙してしまえばよいでしょう。このとき0を一度も通らないことに注意です。
＜筆者の解答＞
第5問
正n角形を転がすときの頂点の軌跡を考える問題です。
2003年というと、東大の「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」が有名ですが、この問題も、円に絡んだ背景があると考えられます。
(1) 60°分転がすごとに回転軸が変化し、Aと回転軸の距離も変化するので、それぞれ個別に考えていきましょう。
(2)極限の問題ですが、一風変わっています。
通常ですと、一般項を求めて無限大に飛ばす、ないしはさみうちの定理を使うのが一般的ですが、今回はそれではやってられません。
最初にいきなり無限大に飛ばしたほうが遥かに手っ取り早く解けます。
よく知られているように、正n角形でnを無限大にすると、円になります。結局、この問題は、円を転がしたときの定点の軌跡、すなわちサイクロイドの長さを求める問題に帰着します。
＜筆者の解答＞
