東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、北海道大学の2002年の問題を取り上げます。
第1問
積分方程式の問題です。
(1)x-1をかけたうえでxで微分すればよいです。
(2)も同様に考えます。微分した後にx=0を代入するとf(x)の形が求まります。
＜筆者の解答＞
第2問
ちょうど２つの数字を使うnケタの自然数の個数を数える問題です。
(1)いろいろな解き方があると思いますが、答案では、同じ数字の並び方によって場合分けして調べています。先頭の数字が0にならないことだけ注意です。
(2)も基本的な考え方は同じです。答案では、漸化式を使う方法と、直接数え上げる方法の2通りを挙げています。
漸化式で解く方法は、先頭の数字がAでもう一方の数字がBとなるnケタの自然数の総数をanとして考えています。このとき、an+1は、一の位としてAかBを追加したものと、A・・・・・ABとなるものを合わせたものになります。
後者の直接数える方法は、先頭の数字をAで固定して、残りのn-1個の数字のうちk個を選んでAにする、という数え方です。
＜筆者の解答＞
第3問
座標上の三角形の面積を考える問題です。
(1)Eの座標を素直に調べましょう。
(2)楕円上の点が(acosθ、bsinθ)と書けることを利用して、三角関数の問題に帰着させます。
(3) (2)から角度のパラメータを消去して考えましょう。
＜筆者の解答＞
第4問
複素数の絡んだ証明問題です。これは経験の有無がものをいう問題と言えます。
(1)は簡単です。複素共役な複素数の足し算なので、実部の2倍になります。
(2)は、αがx^n = 1の解になっていることを使います。α, α^2,・・,α^n-1が全てx^n-1 =0の解となっているので、因数分解を使うことができます。
(3)は思いつかないと厳しいです。(2)で全体で絶対値を取ってみましょう。
＜筆者の解答＞
第5問
空間図形の問題です。方針が立てづらく、処理が長い難問です。
(1)考えるべき条件の数が多いので、1つ1つ丁寧に処理する必要があります。
考えるべき条件は、
・PQ⊥l
・Pがl上にある
・RQ=1
・PQ⊥RQ
の４つです。上の２つを使ってベクトルを文字で置いて、下の2つを使っておいた文字の満たす条件式を求めていく流れで進めることにします。
答案では、PQベクトルをlと垂直という条件だけ使って、文字a,bで一般化しておきました。
加えてOPの式を文字tで表現できるので、合計3つの文字を扱っていきます。
ここから、RQ=1とPQ⊥RQという情報を使って、この2つの条件を同時に満たすa,b,tを考えていきます。
(2) PQの式を1つの文字で表現していきましょう。
＜筆者の解答＞
