東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、東北大学の2002年の問題を取り上げます。
第1問
4次方程式の問題です。
実数係数の方程式について、実数でない数αが解なら、その複素共役も解となります。今回の問題であれば、1+iが解なら、1-iも解になっています。ということは、この２つの虚数を解に持つ2次式x^2 -2x +2で、この4次式が割り切れないといけません。
ここを突破口にして進めることができます。
＜筆者の解答＞
第2問
パラメータ表示された曲線と面積を求める問題です。
(1)x,yをtで微分することで、dy/dxは容易に求まります。
今回は凹凸も問われているので、d/dx(dy/dx)も計算する必要があります。変数変換を使いながら計算します。
(2)は典型問題です。xからtへの置換積分を使います。
＜筆者の解答＞
第3問
非対称に移動する点を考える確率の問題です。なかなか手ごわい問題です。
順を追って考えましょう。
まずちょうど6回目にBに到達する状況を考えます。
このとき、5回目までに、Bの左隣, Bの２つ隣、Bの1個下隣のいずれの点にいないといけません。それらを個別に考えていくことになります。
次に、そこからn-6回以内にCに到達する状況を考えますが、これは、n-6回経ってもCについてない状況を考えたほうが楽です。
最後は、上記２つの確率の掛け算になります。
＜筆者の解答＞
第4問
四面体に関する問題です。
(1)内積の関係を使って、BP, CP, DPを素直に計算しましょう。
(2) (1)からPのベクトル表記は簡単に求まります(lを求めてしまえばよい）。同様の考察により、Qのベクトル表記も求まります。
ゴールは∠PBQを求めることなので、始点をBに統一して考えると見通しが良いです。
＜筆者の解答＞
第5問
楕円の接線と法線に関する問題です。
Pの座標を(acosθ、bsinθ)とおいて、接線と法線の式、h,kの式を求めてθに関する増減を調べる流れになります。
＜筆者の解答＞
第6問
関数の漸化式の問題です。
与えられた式と、それをxで微分してできる式、の合計4つの式を使って考えていきます。
(1)部分積分を使うと、fn(x)=1/2[ Fn-1(x)]^2となります。
(2) (1)を使えば、登場人物が全部プラスなので自明です。
(3) f3(1)×F3(1) =0 となるので、少なくとも一方は０になります。これをもとに、４つの関係式をいじり倒すことになります。
＜筆者の解答＞
