東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、九州大学の1999年の問題を取り上げます。
第1問
関数の最小値について考察する問題です。
(1)は, (2)のヒントです。方程式の左辺の増減を調べましょう。
(2)f(x)を微分した式に、(1)の式が登場します。
(3) (2)を使って最小値を調べましょう。極限計算では、log(m-c)/ log m →1を既知として使用しました。
＜筆者の解答＞
第2問
円錐を題材にした空間図形の問題です。小学生的な図形のセンスと、座標計算のセンスの両方を問われる難問です。
(1)側面上の最短距離を訊かれているので、展開図を描いたときの最短距離となります。
AとBが展開図上でどこに位置するのかを正しく把握しないといけません。
展開図の形は、母線の長さと、底面の半径から求めます。
(2)側面の展開図上に適切に座標軸を作り、Qの座標がどこに来るのかを調べましょう。
すると、直線OQとlの交点としてPの座標を求めることができます。
(3)相似などを使うとOS, ORをθの式として表現できます。θに関する増減を調べましょう。
＜筆者の解答＞
第3問
積分で書かれた曲線に関する問題です。
(1)は、面倒ですが、積分の計算をごり押しで実行しましょう。意外と簡単な式になります。
(2)結局、3次方程式が１つだけ実数解をもつ条件を求めることに帰着します。基本的には定数分離で考えていきます。
＜筆者の解答＞
第4問(a)
数列の取りうる値の範囲に関する問題です。
(1)は簡単な2次方程式を解く問題です。
(2) |f(x)-f(a)|を計算する際に、無理やり|x-a|を作ってあげましょう。
(3) (2)を繰り返し使うと、もしx1≠aだとxnが発散してしまうことが分かります。
＜筆者の解答＞
第4問(b)
実数の大小関係を調べる問題です。
根号がついたままだとどうしようもないので、適宜2乗、3乗したうえで差を調べてみましょう。
＜筆者の解答＞
第4問(c)
※都合により省略
第5問(a)
カードの一致を題材にした確率の問題です。第5問の選択の中では最も難しい問題でしょう。
Aの並べたカードとBの並べたカードが同時に変化するとややこしいので、Aのカードの並びを1,2,3・・・で固定してしまいましょう。縦のカードが一致するか否かだけが問題なので、このようにしても一般性は失いません。
(1)一致するカードの番号を具体的に決めてから場合の数を調べたほうが考えやすいです。
(2)は解いた結果から分かりますが、(3)の大ヒントになっています。
「1」を含むk枚が一致する確率をQ(k)とすると、p=ΣQ(k)と書けるので、Q(k)とP(k)の関係式が分かれば良さそうです。
このとき、Q(k)は、「k枚が一致する確率=P(k)」×「k枚の中に1が含まれる確率」で計算できるので、ak= 「k枚の中に1が含まれる確率」となります。
(3) ノーヒントでこれが出たら超難問になりますが、(2)の結果の中に、期待値の式がしれっと紛れ込んでいることに気が付けると、ほとんど瞬殺です。
＜筆者の解答＞
第5問(b)
複素数平面上の三角形が直角三角形になる条件を求める問題です。
(1)解と係数の関係から、α+β、αβがkの式で書けるので、これを使って与式を計算していきます。α,βが実数になるのか、虚数になるのかで場合分けが発生します。
(2) (1)の式が斜辺以外の2辺の2乗和になっていることに気付けると、ピタゴラスの定理の利用が思いつくでしょう。
＜筆者の解答＞
第5問(c)
ベクトルの関係式を処理する問題です。
(1)内積の条件式をフル活用してx,y,zを求めていきましょう。
(2) (1)で求めた式を使って、これまた内積の条件をフル活用です。
(3)3辺の長さが分かっているので面積は容易に求まります。
(4)eベクトルを同様にa,b,cで表して、△ODFとEの距離を調べましょう。このとき、bベクトルが△ODFと垂直になっていることに気付けると楽になります。
＜筆者の解答＞
