ちょぴん先生の数学部屋

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平成の北大理系数学 -1998年-

大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、北海道大学の1998年の問題を取り上げます。

第1問

円に外接し、別の円に内接する円についての問題です。

 

(1)2つの円の中心間の距離が、外接するときは半径の和、内接するときは半径の差になるので、これを利用して処理していきます。

 

(2)y=2に接するときは、中心がx軸上にあるときなことが図形的に明らかなので、これを利用して半径を計算します。

 

<筆者の解答>

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第2問

曲線の接線と、回転体の体積を計算する問題です。(1)(2)は独立しています。

 

(1)Aのx座標をx=tとして接線の式を求めましょう。

 

(2)Cの概形を描いて面積計算しましょう。(logx)^2の積分には部分積分を利用します。

 

 <筆者の解答>

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第3問

座り方の場合の数を調べる問題です。

「場合の数を求めよ」ではなく、「場合の数が○○になることを証明せよ」なので、難易度が和らいでいると思います。

 

f(n,k)= (空席の選び方)×(空席でない席へのk人の座らせ方= k!通り) となっているので、

空席の選び方が、n-k+1Ck通りであることを示します。

 

空席でない席は連続しないので、とりあえず空席とそうでない席を交互に並べて、残りの空席を隙間に挿入するやり方を調べればよいことが分かります。

 

<筆者の解答>

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第4問

共通領域が三角形となるa,bの条件を求める問題です。

 

まずx-y<0とx+y<2の共通部分を図示します。このときに、直線ax+by=1がどういう配置になっていれば、共通部分が三角形になっているかを図形的にイメージしながら検討しましょう。

 

<筆者の解答>

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第5問(a)

複素数平面の問題です。

 

z=r(cosθ+isinθ)と極形式で表現すれば、z/2+1/zの実部と虚部が簡単に書けます。ここで虚部が0になり、かつ実部が0以上2以下になるr, θの条件を考えればよいです。

 

<筆者の解答>

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第5問(b)

日曜日生まれと土曜日生まれの人数の確率分布を調べる問題です。

(自分の生まれた日の曜日なんて覚えてる人いるのかなぁ。。。)

 

(1)特定の曜日生まれになる確率が1/7なので、よくある、「Aがa回、Bがb回、Cがc回起こる確率」の計算を行えばよいです。

 

(2)確率の最大最小を調べたいので、P(X=k+1, Y=2)とP(X=k, Y=2)の比を調べてみましょう。

 

<筆者の解答>

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