東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、東北大学の1998年の問題を取り上げます。
第1問
(1)y=f(x)をx=の形に書き換えます。
(2)g(x)の積分のところで、x=f(t)と置換するとうまくいきます。
＜筆者の解答＞
第2問
行列の計算問題です。
(1)ケーリーハミルトンの定理を使うと、式の中にトレースが登場するのでスムーズに進みます。
(2) (1)の結果から、A+E = -A^2となることが分かるので、A^3 = E も利用して解きます。逆行列の有無によって場合分けが発生しますし、逆行列がない場合は、さらに細かに場合分けが必要になります。
＜筆者の解答＞
第3問
サイコロを転がしたときの特定の面の配置を考える確率の問題です。
(1)(2)はセットで考えましょう。
サイコロを転がすときは、特定の面は、上面、下面、側面の3パターンしかないので、この3状態について漸化式を立ててanのみの式にしましょう。
(3) (2)の漸化式を具体的に解けばよいです。
＜筆者の解答＞
第4問
sinの比、cosの比の値の満たす条件を求める問題です。
(1)与式からxを消去して整理しましょう。
(2) (1)と同様に、tanx^2もa,b の式で表現できます。a,bの満たすべき条件は、tany^2>0, tanx^2>0となることです。
＜筆者の解答＞
第5問
絶対値付き2次方程式の解の個数を調べる問題です。
絶対値を外してみると、方程式の左辺のグラフは、２つの2次関数をラップさせたものだと分かります。このラップの仕方によってグラフの形状が変化するので、それぞれに対して個数を調べましょう。
＜筆者の解答＞
第6問
2つの円からの「距離」について考える問題です。
(1)は図に描いてしまえば、簡単に求まります。
(2)Pが、C1,C2の外部にあるのか内部にあるのかで、計4通りの場合分けが発生します。計算量が凄いことになります。。。
＜筆者の解答＞
