東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、東北大学の1996年の問題を取り上げます。
第1問
3次関数に関する問題です。
問題文の条件から、a,bをpの式で表現することができ、回転行列を使えばQの座標を出すことができます。
＜筆者の解答＞
第2問
行列式=0となる条件に関する問題です。A-tEの行列式=0という式はよく使う式で、Aの固有値を求める方程式になっています。
(1)A-tEの行列式=0を計算しましょう。
(2)片方は1となりプラス確定なので、もう片方がプラスになる条件を考えましょう。
＜筆者の解答＞
第3問
互いに接する円を次々に作っていく問題です。東大などで類題があります。
(1)外接する条件は、「中心間距離=半径の和」です。
(2)図を描いて三平方の定理を利用しましょう。
＜筆者の解答＞
第4問
出た目の積を考える確率の問題です。
(1)0にならないケースを考えたほうが楽です。
(2)100を因数分解することで、a1+b1, a2+b2, a3+b3の取りうる値をチェックしていきます。
＜筆者の解答＞
第5問
指数関数の共通接線に関する問題です。
(1)2本の接線が完全一致する条件を考えます。
(2)図に描くことで面積計算します。
＜筆者の解答＞
第6問
球面における光の反射の仕方を考える問題です。これは難問でしょう。
まずは、入射光が球のどの点で反射するかを考え、その点における球の接平面を考えましょう。
ここで、反射するときに何が起こるかというと、光の方向が以下のように変化します。
「接平面に平行な成分は変化しない、垂直な成分が逆転する」
よって、入射光のベクトルを、接平面に平行な成分と垂直な成分に分解することを考えましょう。
＜筆者の解答＞
