東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、名古屋大学の1996年の問題を取り上げます。
第1問
特殊な数列の問題です。anの一般項が正攻法では求まりそうにないので、とりあえず実験してみることから始めてみましょう。
(1) 小さい数で実験してみると規則性が見えてきます。それが正しいことを帰納法で証明します。
[追記]漸化式の番号をずらして差を取るという典型開放で容易に解くことが出来ました。なぜこれに気付かなかったのか・・・別解として載せます。
(2)これも、負になる数を決めて実験してみます。
すると、anが負になったあとでは、(1)で求めたanで番号を２つ遅らせたものになることが分かりますので、これを一般的に証明することになります。
a100<0の場合のみ例外扱いとなります。
＜筆者の解答＞
(1)の別解です。
第2問
円と直線の影に関する問題です。
まずは、C上の点とl上の点をパラメータ表示してあげることで、影の式をあらかじめ求めてしまいましょう。
すると、影もまた円と直線になることが分かります。
(1)円の中心と直線との距離が半径未満であれば交点が2点存在します。
(2)Pをtの式で書いて、tを消去しましょう。x,yの動く範囲に注意です。
Pをtで表現するときは、図形的な考察を使うとよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第3問
絶対値付きの積分関数についての問題です。
(1)tの値の範囲によって、絶対値の外れ方が変化しますが、今回は1≦t≦nに限っているので、xの値による分類のみでOKです。（筆者は気づかずに場合分けを全て実行しています。。。）
(2)は意外と難しいです。log同士の掛け算の極限になるのですが、メジャーとは言えないでしょう。
ヒントもあるので、片方のlogを指数の方に乗せてみましょう。ネイピア数eの極限が出現します。
＜筆者の解答＞
第4問(a)
3人のジャンケンで順位が確定する回数を考察する確率の問題です。
これは、k-1回目まで3人のあいこが続く→k回目に決着がつく→n-1回目まで2人のあいこが続く→n回目に決着がつく
で実現するので、上記の確率を足し上げましょう。
＜筆者の解答＞
第4問(b)
関数列の問題です。「e^(-x)のテイラー展開」を背景にした問題で、fn(x)のnを大きくしていくと、fn(x)はどんどんe^(-x)に近づいていきます。
(1)はfn(x)を微分するだけです。
(2)fn(x)- e^(-x)を何回も微分しないと増減を確定できませんので、(1)を利用しましょう。
(3) (2)から、nが奇数の時fn(x)が単調減少になることを利用します。
＜筆者の解答＞
