東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、大阪大学の1996年の問題を取り上げます。
第1問
2次方程式と整数の融合問題です。
条件(イ)から、2つの解が2以上になるa,bの条件と、条件(ロ)をグラフに描いてみると、(a,b)の候補を絞ることができます。各候補に対して、(イ)の解が整数になるか否かをチェックしましょう。
<筆者の解答>
第2問
2つの平面に関して原点と対称な点を考える問題です。
(1)αの法線ベクトルが(1,1,a)、βの法線ベクトルが(1,1,-a)となることを利用しましょう。
(2)直線CDとxy平面の交点をEとして、Eの座標を求めてみましょう。
(3)折れ線の長さの最小化問題です。対称性を使って直線に帰着させることを考えましょう。
今回の場合は、(1)からOP=PC, OQ=QDとなるので、
OP+PQ+QO = CP+PQ+QD となり、PとQが直線CD上にあれば最小になることが分かります。
<筆者の解答>
第3問
不等式証明と極限の問題です。
(1)方針は、y=logxの面積大小比較をすればよいと簡単に思いつくと思います。とはいえ、右辺の証明で少し工夫しないといけません。
(2) (1)の中辺からn!が作れるので、式変形を繰り返してはさみうちに持ち込みましょう。
<筆者の解答>
第4問
円と接線にまつわる面積比、体積比の極限を考える問題です。
(1)S1, S2ともに図形的に簡単に計算することができます。極限計算では、tanx/x→1を利用します。
(2)V1は円錐なので、比較的容易に体積が求まりますが、V2は工夫しないと難しいです。回転軸が斜めっているのが難しさの根幹なので、回転軸が縦になるように回転させて考えるとよいでしょう。
<筆者の解答>
第5問
確率の問題です。
(1)箱の中の玉の状態は、白が2個、白が1個黒が1個、白が0個の3つしかないので、各状態の推移を考えましょう。
(2) (1)を利用して漸化式を立てます。
(3) (2)の漸化式を解きます。
(4)はオマケのような問題で、1/6×P(Xn=1)で求まります。
<筆者の解答>