ちょぴん先生の数学部屋

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平成の阪大理系数学 -1996年-

大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、大阪大学の1996年の問題を取り上げます。

第1問

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2次方程式と整数の融合問題です。

 

条件(イ)から、2つの解が2以上になるa,bの条件と、条件(ロ)をグラフに描いてみると、(a,b)の候補を絞ることができます。各候補に対して、(イ)の解が整数になるか否かをチェックしましょう。

 

<筆者の解答>

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第2問

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2つの平面に関して原点と対称な点を考える問題です。

 

(1)αの法線ベクトルが(1,1,a)、βの法線ベクトルが(1,1,-a)となることを利用しましょう。

 

(2)直線CDとxy平面の交点をEとして、Eの座標を求めてみましょう。

 

(3)折れ線の長さの最小化問題です。対称性を使って直線に帰着させることを考えましょう。

今回の場合は、(1)からOP=PC, OQ=QDとなるので、

OP+PQ+QO = CP+PQ+QD となり、PとQが直線CD上にあれば最小になることが分かります。

 

<筆者の解答>

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第3問

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不等式証明と極限の問題です。

 

(1)方針は、y=logxの面積大小比較をすればよいと簡単に思いつくと思います。とはいえ、右辺の証明で少し工夫しないといけません。

 

(2)  (1)の中辺からn!が作れるので、式変形を繰り返してはさみうちに持ち込みましょう。

 

<筆者の解答>

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第4問

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円と接線にまつわる面積比、体積比の極限を考える問題です。

 

(1)S1, S2ともに図形的に簡単に計算することができます。極限計算では、tanx/x→1を利用します。

 

(2)V1は円錐なので、比較的容易に体積が求まりますが、V2は工夫しないと難しいです。回転軸が斜めっているのが難しさの根幹なので、回転軸が縦になるように回転させて考えるとよいでしょう。

 

<筆者の解答>

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第5問

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確率の問題です。

 

(1)箱の中の玉の状態は、白が2個、白が1個黒が1個、白が0個の3つしかないので、各状態の推移を考えましょう。

 

(2) (1)を利用して漸化式を立てます。

 

(3) (2)の漸化式を解きます。

 

(4)はオマケのような問題で、1/6×P(Xn=1)で求まります。

 

<筆者の解答>

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