東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、名古屋大学の1993年の問題を取り上げます。
第1問
3本の直線が直交かつ交点を持つ条件を求める問題です。一見簡単そうに見えますが、計算量のえぐい、地雷問題です。
例えば、x-1=y-2=-(z-3)=pなどとパラメータを設定して、まずは3本の直線の方向ベクトルを求めます。
この３つのベクトル全てに直交するベクトルが存在する条件から、aの値が決まります。
あとは、(ⅰ)と交点を持つ条件、(ⅱ)と交点を持つ条件、(ⅲ)と交点を持つ条件、を虱潰しに調べないといけません。
＜筆者の解答＞
第2問
直線が球面に接する条件を求める問題です。
直線状の点をパラメータtをつかって表現し、球面と交わるtが重解となる条件を求めることになります。
＜筆者の解答＞
第3問
積分を使った関数の問題です。
(1)積分区間を分けることで、絶対値を外して根気よく計算しましょう。
(2) (1)ができていれば、容易です。
＜筆者の解答＞
第4問(a)
確率の問題です。これは難問です。
残念ながら、(2)は私自身解くことができませんでした。。。
(1)1回目にX、2回目にYが出るとき、
X≦x, かつX+Y>x となるようなX,Yの組を考えることになります。xの値によって場合分けして調べます。
正直、これだけでも大問として成立しうるボリュームだと思います。
(2)は、前述のとおり、解けませんでした。。。すみません。
「xより大きい」という処理が如何ともしがたく、ぴったりxとなる確率Q(x)を考えて、PとQの関係式から、なんとか頑張ろうとしましたが、、、挫折。
後日、もし解けたら追記したいと思います。
[11/30追記]
和がn回目にぴったりxになる確率をQn(x)とすると、Qn(x)=Pn(x-1)-Pn(x)とかけて、さらにQnの漸化式を立ててQnを消去すれば解くことができました。最後は引数がxの階差数列に帰着させることになります。
ヒントを教えて下さった、ばーさーかーさん、ありがとうございました。
＜筆者の解答＞
[11/30追記 (2)の答案 ]
第4問(b)
写像を考える問題です。見た目は敬遠したい雰囲気ですが、実はあまり難しくありません。
(1)(2)のいずれも、背理法で証明します。
(1)もしf1(1)、・・・,fn+1(1)が全て異なるとすると、1~nから漏れる数字が出てしまいます。
(2) fn(1)≠1とすると、n-1までの番号でfl(1)=1となるものが存在し、このときfl+1(1)= f1(x)となって矛盾します。
＜筆者の解答＞
