東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、北海道大学の1991年の問題を取り上げます。
第1問
2次方程式の解を利用した整数問題です。
まずは、解と係数の関係を使って与式をpの式で表してみましょう。すると、分子が1次式、分母が2次式となるので、与式が整数になりえるpの範囲に制限があることが分かります。（pが大きすぎると、与式が0より大きく1未満になってしまう）
よって、与式のなりえる整数値を先に確定させて、そこからpを求めましょう。
＜筆者の解答＞
第2問
パラメータ表示された三角形の重心の軌跡を求める問題です。
これは、tが消えるようにうまく工夫して式変形をする問題です。式の対称性に注目すれば、2^t, 2^t+1, 2^t+2の3項があれば、2^t+1で括るとうまくいきます。
＜筆者の解答＞
第3問
微分方程式の問題です。
(1)接線の条件から構築します。
(2) (1)を解きましょう。
＜筆者の解答＞
第4問
極限の問題です。
(1)kの取る値を、k=1,・・,nに調整してあげると、区分求積法が使えます。
(2) (1)の左辺を式変形していきましょう。
＜筆者の解答＞
第5問
球の一部の体積を求める問題です。
(1)Sをxy平面で切ってできる円が、OA, OB, ABに接していることを利用して解いていきます。
(2)平面z=tで切った断面を考えます。
＜筆者の解答＞
