東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、大阪大学の1991年の問題を取り上げます。
第1問
放物線と直線との距離に関する問題です。
(1)dは、直線PQと平行な、放物線の接線を考えてあげると考えやすくなります。
(2) (1)のaに関する増減を調べます。
<筆者の解答>
第2問
1次変換の問題です。
問題文の条件からAの形を確定させると、示すことができます。
<筆者の解答>
第3問
円の内部におけるサイクロイド(の亜種)を考える問題です。
(1)Dがθだけ転がった時に、D自体が何度回ったかを調べてみましょう。
(2)cosθとcos(1/r -1)θが共通の周期を持つ条件と言い換えることができます。
rが有理数であれば、2rπが共通周期となります。(rが無理数の時がNGなことの説明が甘いかもしれないですが。。。)
(3) (1)でr=1/2としてθを消去すればよいでしょう。
<筆者の解答>
第4問
微分方程式の問題です。
(1)tanの加法定理を使って求めます。
(2)gをxで微分して、色々式変形してみます(少し試行錯誤が要るかもしれません)
(3)g(x)を解いて、f'(x)の極限の条件からf(x)を確定させます。
<筆者の解答>
第5問
確率漸化式の問題です。
(1)AからAに戻る経路を調べます。
(2)同様にCからAに行く経路も調べれば、漸化式が立ちます。
(3) (2)の漸化式を解きましょう。
<筆者の解答>