ちょぴん先生の数学部屋

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平成の阪大理系数学 -1991年-

大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、大阪大学の1991年の問題を取り上げます。

第1問

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放物線と直線との距離に関する問題です。

 

(1)dは、直線PQと平行な、放物線の接線を考えてあげると考えやすくなります。

 

(2) (1)のaに関する増減を調べます。

 

<筆者の解答>

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第2問

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1次変換の問題です。

 

問題文の条件からAの形を確定させると、示すことができます。

 

<筆者の解答>

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第3問

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円の内部におけるサイクロイド(の亜種)を考える問題です。

 

(1)Dがθだけ転がった時に、D自体が何度回ったかを調べてみましょう。

 

(2)cosθとcos(1/r -1)θが共通の周期を持つ条件と言い換えることができます。

rが有理数であれば、2rπが共通周期となります。(rが無理数の時がNGなことの説明が甘いかもしれないですが。。。)

 

(3) (1)でr=1/2としてθを消去すればよいでしょう。

 

<筆者の解答>

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第4問

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微分方程式の問題です。

 

(1)tanの加法定理を使って求めます。

 

(2)gをxで微分して、色々式変形してみます(少し試行錯誤が要るかもしれません)

 

(3)g(x)を解いて、f'(x)の極限の条件からf(x)を確定させます。

 

<筆者の解答>

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第5問

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確率漸化式の問題です。

 

(1)AからAに戻る経路を調べます。

 

(2)同様にCからAに行く経路も調べれば、漸化式が立ちます。

 

(3) (2)の漸化式を解きましょう。

 

<筆者の解答>

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