東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、大阪大学の1989年の問題を取り上げます。最終回です。
第1問
1次変換についての問題です。
(1)直線y=mxが性質Pを満たすようなmが存在する条件を求めましょう。
(2) (1)から、lが2本ある条件が求まるので、あとは角度の条件を処理します。角度は内積で処理するとよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第2問
無限級数を計算する問題です。
x1, x2の値から、rとθの値を確定させましょう。すると、sinnθの値が周期的に変化するので、それらを調べて無限級数を計算しましょう。
＜筆者の解答＞
第3問
三角形の内接する長方形の面積を最大化する問題です。
長方形の各辺が座標軸に平行となるように、xy座標を作って考えると見通しが良いです。
このとき、角度を設定して、その角度を動かしたときの長方形の面積の増減を調べましょう。
＜筆者の解答＞
第4問
関数の面積比を考える問題です。
問題文に従ってQの座標を求めて、S1, S2を順に計算し、極限を求めましょう。
＜筆者の解答＞
第5問
線分の連結を題材にした確率の問題です。
(1)Mは、そもそもx軸ないしy軸に平行な長さ1の集合体になるので、それが何本あるかを数えます。
(2) n+3本を選んで(0,0)と(n,3)を繋げると、それは両点を繋ぐ最短経路になっています。よって、最短経路の個数を数える問題に帰着します。
(3) (2)の状況で余計にもう1本選べばよいわけです。
＜筆者の解答＞
