文系数学の最難関、一橋大学の2014年の問題を取り上げます。
第1問
整数問題ですが、とっかかりが分かりにくい難問です。
初見で分かる情報は、a>b>cとなることと、a,b,cの偶奇が全部一致しているとa-b-8, b-c-8が偶数になることぐらいです。
これを手掛かりにすると、cが2になるか、3以上になるかで検討してみようという気になります。
いずれも p, p+10, p+20が全て素数になるようなpを求めることに終始することになります。pに具体的に数字を入れて予測してみましょう。
＜筆者の解答＞
第2問
面積の最小化問題です。
問題文の通りにS1, S2をtの式で計算して、S1+S2の最小値を考えるだけです。
＜筆者の解答＞
第3問
点列についての問題です。
(1)操作Tを、問題文の通りに順に数式化していきましょう。
(2) (1)の結果を使えばすぐです。
(3) P(cosθ, sinθ)とすると、(1)の形から、倍角の公式が顔を出すことが分かります。このことから、Pnの一般形が書けます。
＜筆者の解答＞
第4問
円錐の表面積を求める問題です。
(1)球が内接している条件から、円錐の高さ（ないし母線の長さ）を求めることができます。この結果と展開図を使って表面積が計算できます。
(2) (1)の結果がrの分数関数になっているので、相加相乗平均の関係の利用を考えましょう（文系範囲では）。
＜筆者の解答＞
第5問
確率の問題です。
(1)(2)はともに、4回分までの座標の動き方を書き出してしまえばよいでしょう。
(3)は、正直悪問だと思います。なぜなら、この文面は、2通りの解釈ができてしまうからです。出題ミスでは？と疑っています。。
1つ目は、3以上の「すべて」のnについて、an = n-3となる確率と、という解釈の仕方です。（私自身の初見の解釈は、こちらでした）
この解釈では、非常に簡単に解けます。a3=0となった後に表が出続ければよいからです。
2つ目は、3以上の「とある」nについて、an = n-3となる確率、という解釈の仕方です。こちらの難易度は非常に高いので、おそらく一橋の出題意図はこちらなのでしょうが、1つ目の解釈ができてしまう文面である以上、1つ目の答えで提出されても正解扱いにしないといけないでしょう。。
さて、2つ目の解釈での解き方は、直前にどこにいるかで場合分けをします。
an-1の値は、-n+3かn-4のどちらかです。
その各々について、さらに直前の状態を考えるのですが、akが最大限0から遠ざかれる距離に限界がある（表が出続けるときが距離の最大値）ことに注意して、候補を絞っていきます。
これらを使って漸化式を立てて解くことになります。
(1)(2)が簡単なので、(2)まで解いて後回しにするのが正解だったかと思います。第1問は難問ですが、(3)の2つ目の解釈よりは手が付きやすいと思うので。。
＜筆者の解答＞
