文系数学の最難関、一橋大学の2010年の問題を取り上げます。
第1問
3次関数を題材にした複素数と整数の問題です。
(1) 一般に、実数係数のn次方程式が、虚数解a+biを持っていれば、その複素共役a-biも解になります。
これを利用することで、p,q,rをa,b,cの式で表すことができます。
ここから、s(c)-s(a)を具体的に計算してみましょう。
(2)は整数問題です。
(1)で求めたp,q,rの関係式から、これらが整数になることは明らかでしょう。この関係式を使って考えていきます。
pが偶数でかつqが4の倍数の時、cは偶数でかつa^2+b^2は4の倍数になります。この時にa,bの偶奇を考えていきます。
ヒントは、平方数を４で割った余りは必ず0か1になる、です。
＜筆者の解答＞
第2問
3次関数の接線に関する問題です。
(1)傾きがmになる時の接点A,Bの座標を直接計算し、中点Cの座標を直接計算してみましょう。
(2)直線ABの式を作って、係数比較を行います。ABの式を作る際に、(1)の結果を使うと楽になります。
＜筆者の解答＞
第3問
空間内の平面へ原点から下した垂線の足の座標を求める問題です。
(1)△ABCを底面にして三角錐OABCの体積を計算することを考えましょう。体積自身と△ABCの面積を地道に計算しましょう。
(2)△ABCの単位法線ベクトルを求めてしまえば、Hの座標= OHの長さ×単位法線ベクトル で求まります。
＜筆者の解答＞
第4問
漸化式を用いた整数問題です。
(1)anを10で割った余りをbnとしてb1, b2,・・を順に計算していきましょう。どこかで必ず周期になりますので、そこまで粘るのみです。が、意外に1周するまでが長く不安になります。。。
(2) anの漸化式は具体的に解くことができるので、一般項を求めてしまいましょう。
＜筆者の解答＞
第5問
サイコロの目が連続する場合を考える、確率の問題です。
(1)「少なくとも」というワードが出てきたら、まずは余事象を考えるようにしましょう。
今回の余事象は、同じ目が1回も連続しない、です。
(2) これも同じく余事象です。同じ目が一度も連続しないか、一度しか連続しない確率を考えます。
前者は(1)で既に求めているので、後者を計算します。Xk-1 = Xkとなる確率を計算してシグマを取ればよいでしょう。
＜筆者の解答＞
