文系数学の最難関、一橋大学の2003年の問題を取り上げます。
第1問
整数問題です。
(1)は典型問題です。nを3で割った余りで分類して考えましょう。
(2)も基本的には(1)と同様です。nを3で割った余りで分類して考えると、余りが0になる可能性があるのが、n=3k-1の場合だけです。そこで、余りがきっちり０になる場合はどんなときかを考えましょう。
＜筆者の解答＞
第2問
複素数の存在範囲を求める問題です。
α,βを α=(1+cosθ)+isinθ、β=cosΦ+i(1+sinΦ) とパラメータ表示しておくと見通しが良いです。
パラメータが独立に2つあるので、片方を固定してもう片方を消去という形で領域を求めていきましょう。
(1)(2)いずれの場合も、中心がある円周上を動く円となります。
＜筆者の解答＞
第3問
空間上の四角形の面積についての問題です。
(1)同一平面上にある条件は、OC=sOA+tOBの形で書けることです。
(2) (1)の結果を使うと、OABCが平行四辺形になることが分かります。
＜筆者の解答＞
第4問
3次方程式、2次方程式の解の大小を比較する問題です。
(1) f(x)のグラフの形状を丁寧に書き、f(1), f(2)の正負に注目しましょう。
(2)g(x)のグラフを追記して考えます。そのとき、f(x)とg(x)の大小関係に注意しましょう。
(3)βの値は具体的に計算できるので、β^3の値を計算してみましょう。
＜筆者の解答＞
第5問
途中で大小が切り替わる場所を考察する、確率の問題です。
問題文の解釈は、「最初は、後に出したカードの方が常に大きくなるが、途中でその関係が崩れる。その場所kをXとせよ」ということです。
(1)X=1のとき、最初に引いた数より、2番目の数の方がそれ以下であればよいわけです。a1=lと固定して1≦a2≦lとなる確率を考えましょう。
(2)X=nのとき、a1<a2<a3<・・・<anがずっと成立して、an≧an+1となる場合です。前半を考えると、登場する数字が1~nしかないので、a1=1, a2=2, ・・・an = nとなるしかありません。すると、an+1は必ずan以下となります。
よって、a1=1, a2=2, ・・・an = nとなる確率を考えれば十分です。
(3)X≧mとなるとき、a1<a2<・・<amが成立していれば十分です。よって、これを満たす(a1,a2,・・,am)の組み合わせの場合の数を計算すればよいです。
それは、1~nからm個を選ぶ方法と同じです。
＜筆者の解答＞
