文系数学の最難関、一橋大学の2002年の問題を取り上げます。
第1問
整数問題です。
3つの数の合計が25/16になることは言うまでもありませんが、「三角形の3辺」と言っている以上は、三角形として成り立っていないといけません。例えば、辺の長さが1,2,3という三角形は存在しえませんね。そんな「三角形の成立条件」から3本の不等式が成り立ちます。
ここで、xとyは対称な関係なのでx≦yとしても一般性を失わず、辺の長さを小さい順に並べることができます。
この大小関係から、先の3本の不等式のうち2本は自動的に成り立ってしまうことが分かるので、残り1本の条件を使ってk,x,yを絞り込んでいきましょう。
＜筆者の解答＞
第2問
複素数の条件についての問題です。
問題文の意味は、「α+1/αの虚部がθによらず絶対値2以下」 ということになります。よって、α+1/αの虚部を計算して、rを固定したときに取りうる値の範囲を調べましょう。
＜筆者の解答＞
第3問
座標平面上の直角三角形についての問題です。
(1) 角度の情報を内積や辺の長さの比を使って処理すると、2本のa,b,cの関係式ができます。それを連立して考えましょう。どの文字を消去すべきかもよくよく考える必要があります。
cがバチっと決まるか不安になりますが、きっちりと求まります。
(2) cが具体的に求まれば、a,bの関係式が2本求まりますが、片方が成立すればもう一本は自動的に成立するので、実質1本です（線分になります）。
この条件下で、AB=√(a^2 + b^2) の取りうる値を考えるわけですが、これは原点中心の円と、先ほどの線分とが交点を持つ条件と言い換えられます。
＜筆者の解答＞
第4問
円錐の表面積と体積を計算する問題です。
題意を満たす円錐の底面半径をr、高さをhとしてrとhの関係式を求めます。その上で(1)では表面積、(2)では体積をr,hで表しましょう。
(1)表面積の計算には展開図を使うとよいでしょう。表面積の式は、rを消去するとhの分数関数になります。文系範囲なので、相加相乗平均の関係が使えないか考えてみましょう。
(2)体積の方もhの分数関数となります。こちらはhを分母に集めてしまうと、分母に3次関数が出現します。
＜筆者の解答＞
第5問
確率の問題です。
コインの枚数の状態は、3枚、2枚、1枚, 0枚の４つです。0枚になった時点で終了なのでこれは考えなくてよく、n回後に3枚、2枚、1枚となっている確率をan, bn, cnとして漸化式を立てて考えましょう。
(1) n=1,2のときは直接状況を考えて計算で良いでしょう。
(2)an, bn, cnの一般項を求めましょう。するとqn= an-1 +bn-1 +cn-1 で求まります。
cnを計算するのに苦労するかもしれません。
＜筆者の解答＞
