文系数学の最難関、一橋大学の2001年の問題を取り上げます。
第1問
3次方程式の解についての問題です。
α,β, γの条件から、整数解は1か2しかありえませんが、2がNGなことは代入すればすぐに分かりますので、整数解が1と決まります。
そうすればbがaの式で表せて、3次式がx-1で因数分解できますので、残りの2次方程式の解が0より大きく3より小さい解を持つ条件を求めればよいことになります。
（※答案は一部記述不足な点があります。2次方程式の解が1にならないことをちゃんと説明すべきでした。。）
＜筆者の解答＞
第2問
直線についての対称移動を考える問題です。
P(p, p^2), Q(q, q^2)と置いたとき、両者が直線について対称になる条件を考えます。
・P, Qの中点が直線状にある
・PQが直線と直交する
という2つの条件があるので、そこから得られる２つの曲線が交点を２つ持つ条件と言い換えられます。
＜筆者の解答＞
第3問
四面体の体積を考える問題です。
以下OP=p, OQ=qとして考えます。
(1) 三平方の定理と余弦定理を使うと、p,qの関係式が求まります。実は、それを使うだけでSが求まってしまいます。
(2) (1)で得られたp,qの関係式から、pとqの取りうる値を考えましょう。
(3) 同じく(1)の関係式を使ってVをpの関数として表します。計算を進めると、相加相乗平均の関係が使える形に持ち込めます。
＜筆者の解答＞
第4問
複素数の絶対値の取りうる値の範囲を求める問題です。
zがr,θの式で表現されているので、f(z), g(z)をr,θを使って表現しましょう。
その後は、予選決勝法を使って考えていきます。(1)(2)ともにrを固定してθを先に動かすとうまくいきます。
＜筆者の解答＞
第5問
確率・期待値の問題です。
(1) 引いた2枚のうち大きいほうの数字がX=kとなる確率pkを計算しましょう。これは、1枚がk、もう一枚がk-1以下であればよいです。
(2) 同じくY=kとなる確率qkを計算します。Y=kとなるケースは、X1,X2の両方がkとなる場合と、片方がkとなる場合があります。
＜筆者の解答＞
