文系数学の最難関、一橋大学の2000年の問題を取り上げます。
第1問
複素数を題材にした整数問題です。
整数問題の初手としてよく使う、「因数分解」「倍数余り」が両方うまくいきそうにないので、分かる情報を一つ一つ拾ってまとめていくしかありません。
w^2*zを愚直に計算して、実部=1, 虚部=18を考えると、
・a>b
・cとa^2 -b^2は奇数
・dは偶数
が分かります。これを使えば、cやdの取りうる値が絞られてくるので、虱潰しに調べる形になります。
整数問題というよりかは、数独を解いてる感覚に近かったです。
＜筆者の解答＞
第2問
ベクトルの問題です。
AP=tACとできるので、題意を満たすtが2つ存在する条件を考えることになります。
＜筆者の解答＞
第3問
三角錐の角度についての問題です。
(1)余弦定理を使った関係式をたくさん作って考えましょう。
(2)こちらも余弦定理を適用して考えます。
＜筆者の解答＞
第4問
3次関数の共通接線に関する問題です。
(1) lをPにおけるf(x)の接線として立式、さらにQにおけるg(x)の接線として立式します。この両者が一致すればOKです。
(2) Rの座標をpで表現できれば難しくありません。
＜筆者の解答＞
第5問
確率の問題です。
(1) 「少なくとも」は余事象です。ベン図を描いて、「１が出る確率」「2が出る確率」「１も２も出ない確率」から計算します。
(2) (1)の結果から、「1の目が一回だけ、かつ２が少なくとも1回でる確率」を引けばOKです。
＜筆者の解答＞
