文系数学の最難関、一橋大学の1995年の問題を取り上げます。
第1問
実数をできるだけ精度よく有理数で近似する、いわゆる「ディオファントス近似」を題材にした問題です。が、0.4は2/5と簡単に分数で表現できるので、正直何をしたいのかがよく分からない設定の問題ですね。。
絶対値を外してあげると、0.39≦n/m≦0.41→39m≦100n≦41mとなるので、
こうなるm,nを、mが小さい順に虱潰しに調べるしかないと思います。
<筆者の解答>
第2問
三角形の辺の長さを求める問題です
(1)∠APC=θとして、余弦定理の式を2本立てると効率よく計算できます。
(2) (1)の方法を使ってAP^2, BQ^2, CR^2をa,b,cの式で表現して、連立しましょう。
<筆者の解答>
第3問
1次変換と、直線の通過領域を求める問題です。
まず、x=1上の点を(1,p)として、これを移動させることでltの式を求めましょう。
通過領域は、
1. 順像法:xを固定してtを動かしたときにyの取りうる値を調べる
2. 逆像法:tの方程式が0≦t≦1に解をもつx,yの条件を求める
という2通りの解法があり、答案では1を採用しています。
<筆者の解答>
第4問
立体の体積を求める問題です。
まずは、P(x,y,z)の満たす条件を考えていきましょう。
|PA| + |PB| ≦8からは、楕円球(ラグビーボール型)、PA・PB≦9からは、球が求まります。
両方ともx軸について回転対称なので、xz平面での断面を考えて、それをx軸周りに回転してあげればよいでしょう。
<筆者の解答>
第5問
確率の問題です。
(1)いきなり≠は考えにくいので、x1=x2またはy1=y2となる確率を考えるとよいでしょう。今回は、x1=x2とy1=y2は同時に起こらないことに注意しましょう。
(2) 直線x+y = k (整数)上にある格子点から2つを選ぶ方法を考えることに帰着しますので、格子点の個数を数えましょう。
<筆者の解答>