私立最難関の一角、慶應義塾大学の医学部の問題を取り上げます。今回は2014年の問題です。
第1問
小問集合です。
(1)場合の数の問題です。(あ)については引く偶数のカードの枚数で場合分けして数え、（い）については3枚とも10以下になるような引き方を考える良いでしょう。
(2)2次方程式の無理数解についての問題です。有理数係数の2次方程式だったら、2+√5が解なら、2-√5も解になります。同様に(2+√5)^n が解なら(2-√5)^nも解になります。この事実を使って、解と係数の関係を考えます。
(3)積分の計算問題です。絶対値なども特にないので愚直に積分を計算し、mについて平方完成する、それだけの問題です。
＜筆者の解答＞
第2問
確率の問題です。最初に、x=1,2,3の3状態の移り方を図にしておきましょう。
(1)推移図を基にして漸化式を立てて解けばよいです。
(2) スタートがx=2なら、x=1を考えなくてもよくなるので改めて漸化式を立てます。
(3)
(3-1) Cが初めてx=2に行くのがk回目だったとすると、O君はDを残りn-k回動かすことになります。(2)までの結果をフル動員してkについてΣ計算です。
(3-2) CとDが同時にx=2にいないとき、「CとDが両方x=1」「Cはx=3, Dはx=1」「CとDが両方x=3」の3パターンあるので、それぞれを(3-1)と同様に計算します。
＜筆者の解答＞
第3問
放物線の接線に関する問題です。
(1)この手の問題は、「x=tでの接線の式」→「(X,Y)を通る」の順で考えるのが定石です。
(2) 法線の式を2本出して連立すればよいでしょう。m1, m2の関係は(1)で考えたtの方程式で解と係数の関係を使えばよいでしょう。
(3)tanの加法定理を使って考えますが、α=π/2の時だけは個別に考えます。
(4) (2), (3)の結果から瞬殺です。
＜筆者の解答＞
第4問
二等辺三角形の中に次々円を作っていく問題です。
(1) 内接円の半径は、三角形の面積と周長から求めることができます。あとは、これを頑張ってθで微分して増減を調べましょう。
(2) R2を相似の関係を使って求めましょう。Cnの相似比は常に等しいので、ここからRnの式を求めることができます。
(3) 問題文の通りに対数を取って微分します。
(4) (3)の結果を使って極限を取ります。(か)については「分子の有理化」、(き)については「ネイピア数eの定義」が使えるように指数をうまく調整します。
＜筆者の解答＞
