理系数学の最難関の一角、東京工業大学の2011年の問題を取り上げます。
第1問
行列の固有ベクトルと、それにちなんだ面積の計算問題です。
(1) 1次変換をしても向きが変わらないベクトルを「固有ベクトル」といい、この小問では、実質fnの固有ベクトルを求める問題です。とはいえ、奇をてらった知識は不要で、「y=ax上にある点をfnによって移した点もy=ax上にある」という条件を処理すればOKです。
(2) 図を描いて面積を計算すればよく、三角形の面積などをうまく使えば積分計算を最小限に減らせます。
(3) 部分分数分解を使う基本的なΣ計算の問題です。
＜筆者の解答＞
第2問
積分を使った関数についての問題です。
(1) xの値によって場合分けして絶対値を外して、ひたすらに計算してf(x)を求めてしまいましょう。場合分けする際は、tの範囲に注目できるとよいでしょう。
最小値は、微分で求めても良いですし、今回の場合は相加相乗平均でも解けます。
(2) (1)で求めたf(x)を区間に注意して積分するだけです。
＜筆者の解答＞
第3問
三角形の面積を最大化する問題です。
∠POQ = θとして、tanの加法定理を使ってθの増減を考えてあげると解くことができます。
＜筆者の解答＞
第4問
正方形を回転してできる立体の体積を最大化する問題です。
第3問までが標準レベルでまとまっていたのに、この第4問だけ出る場所を間違えたとしか思えないほどのとびぬけた難問です（その証拠に、B5用紙4枚を消費し、解き切るのに2時間弱はかかりました。。）。本番では捨てて構わない問題です。
(1)にしても(2)にしても、直感的にはすぐに分かる自明な話です。ですが、それを「きっちり論証する」のは非常に大変なわけです。
(1)答案のように、x,y軸に頂点が接するように角度αだけ回転させてDを設置し、直線y=kを回転軸として考えたときにk=0の時に体積が最大になることを証明する、という方針で進めており、体積を直接考えるのは厳しいので、x=tで切った時の断面積が、tの値によらずk=0で最大になるという考え方で議論を進めています。
このときに、回転軸の位置(kの値)や断面を切る位置(tの値)によって、これらの直線とDとの交わり方が変わるので細かい場合分けが必要であり、回転軸からの距離も逐一計算しないといけません。
(2) (1)の結果から、k=0の場合だけ考えればよいので、αを固定して体積を計算し、αを動かして最大値を求めます。積分の計算がきついですが何とか頑張って実行すると驚くほどスッキリした式になります。
出てくる結果は、直感ですぐに予想できる通りに、対角線が回転軸と垂直になる場合になります。
＜筆者の解答＞
