旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では京都大学の2009年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の京大理系数学 -2009年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
第1問
小問集合です。
(1)空間上の直線に対する垂線に関する問題です。Hの座標をベクトルを使って文字で置いて、CH⊥BAを処理していきましょう。
(2)確率の問題です。
失敗が続くと赤玉が増え続けていくので、k回目で失敗する確率、成功する確率を計算すればよいでしょう。
<筆者の回答>
第2問
積分方程式の問題です。
左辺の積分を展開し、xの関係ない定積分を文字で置いてしまいましょう。
満たすべき方程式は、与式にx=0,1を代入したもの２つ、与式をxで微分したもの1つ、定積分を文字で置いた3つの、計6つになります。これらを連立して解いていきましょう。
<筆者の回答>
第3問
対数の絡んだ領域図示の問題です。
対数を扱うときは底が揃っていないとやりにくいので、まずは底を統一しましょう。右辺に２が登場しているので、2を底にするとスッキリします。
式を整理すると、分母にlogx×logy が登場するので、その符号による場合分けが発生します。
<筆者の回答>
第4問
三角形の面積に関する問題です。
図を描けば、sin∠AOBとsin∠EOBの比を調べればよいと分かります。∠EOBを∠AOBを使って表現しましょう。ただし、sin∠EOBは負になるケースもあるので絶対値を取って考えます。
<筆者の回答>
第5問
階乗が素数で何回割り切れるかを考える問題です。
この答えはずばり、1~p^nの中の、pの倍数、p^2の倍数、・・・、p^nの倍数の個数の和になります。これを知っていれば瞬殺です。
なぜそうなるかを、p=2, n=4を例に答案で説明しています。
<筆者の回答>
