旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では名古屋大学の2007年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の名古屋大理系数学 -2007年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
第1問
図形の証明問題です。内分と言ったワードがあるので、ベクトルを使って処理するとよいでしょう。
問題文の条件に従って、A'~C', A''~C''を全てAを始点にしてABベクトルとACベクトルの和で表現し、△ABCの重心Gについても同じように表現します。
そのうえで、「Gが直線AA''上にある」、「Gが直線BB''上にある」、「Gが直線CC''上にある」の３つを証明しましょう。
<筆者の回答>
第2問
放物線の共通接線に関する問題です。
(1) 教科書レベルの問題ですね。
(2) (1)のlが、Dにも接するので、Dとlを連立した方程式が重解を持ちます。そんなtを求めましょう。
(3) 図を描いて積分計算します。
<筆者の回答>
第3問(a)
4次方程式の解が等差数列になる条件を調べる問題です。
4次方程式と言いつつ、t=x^2とすれば実質2次方程式になります。このtの2次方程式が２つの正の実数解を持つことが、4次方程式が４つの実数解を持つ条件になります。
tの2次方程式の解をα^2, β^2 (0<α<β)とすると、4次方程式の解は小さい順に-β, -α, α, βとなるので、β-α=2α が等差数列になる条件です。
<筆者の回答>
第3問(b)
確率の問題です。
(1) 3回分の袋の中身の変化の仕方を調べつくしたほうが楽です。その上でmの値に応じて確率を計算しましょう。
(2) (1)の結果から答えの予想ができるので、それを帰納法で証明します。そのためにはpN(m)の漸化式が必要なので、N-1回目とN回目の状況を比較しましょう。
<筆者の回答>
