ちょぴん先生の数学部屋

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平成の九大文系数学 2007年

旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。

この記事では九州大学の2007年の問題を取り上げます。

 

理系の記事はこちら↓

平成の九大理系数学 -2007年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)

第1問

4次式に関する問題です。

 

(1)最初から2次式2つに因数分解されているので、それを解いてあげればOKです。

 

(2) (1)の結果からf(x)の概形が書けるので、負になる区間が視覚的に分かります。

 

(3) f(n)は整数で、f(n)≦0のケースは(2)で調査済みなので、f(n)=1を調べてあげればOKです。

このとき、2つの2次式は両方整数なので、「両方1」か「両方-1」の2択しかありません。これを使ってnを求めましょう。

 

<筆者の回答>

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第2問

四面体の体積を調べる問題です。誘導が丁寧なのでうまく乗っていきましょう。

 

(1)正三角形であることは、AB=BC=CAを証明すれば言えます。また、正三角形の面積は、√3/4×(1辺の長さ)^2 で計算できます。

 

(2) 内積=0を証明しましょう。

 

(3) (2)の結果から、PGは、△ABCを底面にした時の高さだと分かります。ここからV(t)を計算できるので、微分して増減を調べましょう。

 

<筆者の回答>

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第3問

確率の問題です。ABCDは反時計回りに配置されています。

 

(1) n回後にAにいる確率をan, Bにいる確率をbn, Cにいる確率をcn, Dにいる確率をdnとして漸化式を立てるとよいでしょう。これを使って順繰りにn=2~4の場合を調べましょう。

 

(2) こちらも漸化式を使って、n=2,3の場合を計算して大小比較をしましょう。

 

<筆者の回答>

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第4問

三角形の成立条件を考える問題です。(1)ができれば(2)(3)は難しくありませんが、とにかく(1)が難問です。

 

(1)は、「辺の長さは正の実数」かつ「√x(x-2)は他に2辺より長い」かつ「三角形が成立する」という大きく3種類の不等式が登場するわけですが、

「辺の長さは正の実数」→2つ

「√x(x-2)は他に2辺より長い」→2つ

「三角形が成立する」→3つ

不等式が生まれ、さらにその結果が「または」を含んでいたりするので、そのすべてを的確に処理するのが非常に難しいです。

「かつ」なのか「または」なのかに注意し、数直線を描いて処理していきましょう。

 

(2) (1)の結果から一番短い辺は4-xなので、余弦定理でcosθを計算できます。

 

(3) (2)の結果の分母分子は約分することができて、√の中をただの反比例の式にすることができます。これに(1)の結果を当てはめます。

 

<筆者の回答>

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