2021年も大学入試のシーズンがやってきました。
今回は、京都大学の理系数学に挑戦します。
※解けていなかった6(2)について答案を追記しました。
<概略> (カッコ内は解くのにかかった時間)
1.小問集合
(1)平面に対して対称な点の座標(15分)
(2)4色取り出す確率(20分)
2. 線分の長さの最大最小(10分)
3. 無限級数の計算(25分)
4. 曲線の長さ(10分)
5. 垂心の軌跡(20分)
6. 小問集合
(1)整数の証明(10分)
(2)接線の性質(15分) ※初見では解けず
<体感難易度>
2<4<6(1)<1(1)<5<1(2)<3<6(2)
京大にしては比較的解きやすい問題が多めな印象ですが、第6問が小問集合というのは初めて見ましたね。
6(2)は残念ながら初見では解くことができず、いくら考えても閃かなかったため、予備校の解答速報を見てしまいました。。。うん、自力であれを思いつくのは無理ですね。
<個別解説>
第1問
去年に引き続き、第1問は小問集合です。
(1)平面に対して対称な点の座標を求める問題です。
αの式が簡単に作れるので、法線ベクトルが分かります。PQベクトルと法線ベクトルが平行、PQの中点がα上にある、という2つの条件を使ってQを求めていきましょう。
(2)4色の玉を取り出す確率を考える問題です。
要求されている状況は、n-1回目までに赤以外の3色は最低1回ずつは出ていて、n回目に赤が出るという状況です。この時点でn≧4でなければいけないので、この下で考えて行きます。
n回目に赤が出る確率は1/4なので、「n-1回目までに赤以外の3色は最低1回ずつは出ている」確率を計算するのがメインの作業です。
これの余事象が、「n-1回目までに2色以下しか出てこない」なので、「1色しか出ない確率」と「ちょうど2色出る確率」をそれぞれ計算するとよいです。
[2/28追記] (2)の答えにミスがあったので修正しました。
<筆者の回答>
第2問
線分の長さの最大最小を考える問題で、非常に易しい問題です。
Pのx座標をpとおいて、接線の式を出す→x切片を出す→Lをpの式で表現→微分で増減を調べる、という一本道です。
微分をしやすくするためにL^2で考える、X=p^2と変数変換するといった小技こそあれ、京大受験生であればしっかり確保しておきたいですね。
<筆者の回答>
第3問
無限級数の計算問題です。
実はこの問題、大学数学のある知識を知っていれば超特急で解けてしまいますが、知らない前提では場合分けが必要なうえに、計算量も多くしんどい問題です。
オーソドックスな解き方は、nを12で割った余りでcosnπ/6を場合分けして、12通りそれぞれで等比級数を計算しnを無限大に飛ばす、という方法になります。高校数学的にはこちらの方法になるのですが、如何せん面倒です。
それでは、大学数学を少しだけ使った裏技(別解)を紹介します。
使う知識は、「オイラーの公式」です。その心は、「e^iθ = cosθ+isinθ」というもの。複素数の世界まで広げると、指数関数と三角関数が繋がってしまうという特筆すべき大定理です。
これを利用し、今回考えるcosの部分を、sinに置き換えてiをかけたものを敢えて足してあげると、オイラーの公式によりΣの中身が等比数列に一本化できます。
等比級数の公式は、公比が複素数であってもそのまま使えるので、場合分けすることなしにストレートにΣを外し、極限を飛ばすことができるわけです。(※公比の絶対値が1未満であれば、0に収束します)
こうして計算した和の実部だけ取り出してあげれば、今回の問題の答えになります。
高校生向けを考慮したオーソドックスな解法では25分もかかりましたが、オイラーの公式を使う方法では5分足らずで解けました!これが複素数の威力ですよ!!
今回の問題の類題にあたった際には、ぜひこの解法を覚えておくとよいでしょう!
<筆者の回答>
オイラーの公式を使った別解です。
第4問
曲線の長さを計算する問題です。
曲線の長さは、∫√1+(y')^2 dx で計算できるので、これを素直に計算していけばOKです。とはいえ、この積分それ自体が、非常に演習価値の高いものになっています。
(※ヨビノリさんがどっかで「今週の積分」で取り上げていたかもしれません)
<筆者の回答>
第5問
垂心の軌跡を調べる問題です。
(1) B,Cの座標値を見た時点で答えが予想出来ちゃった人もいるかもしれませんね笑
角度が一定という条件があるので、円周角の定理を考えれば良さそうです。つまり、AはB,Cを通る円周上にあると考えるわけです。B,Cの対称性から、その円の中心Dはy軸上にあることが分かり、円周角の定理から∠BDC=120°となるようにDを決めてあげればよいです。Dの候補は2種類出てきますが、片方は「Aのy座標が正」という条件が満たせずアウトになります。
(2) (1)の結果からAの座標をパラメータ表示できるので、ベクトルの知識を使って垂心Hの座標を求めましょう。AとHのx座標が同じだというのが非常においしい要素です。
あとはパラメータを消去すればHの軌跡は求まりますが、x,y座標の範囲のチェックは忘れずに。
<筆者の回答>
第6問
まさかの第6問も小問集合です。
(1)整数の証明問題です。
素数をそのまま扱うのは難しいので、対偶を取ればよいでしょう。つまり「nが合成数なら、3^n-2^nも合成数である」を証明すればOKです。nが合成数なら、3^n-2^nが2以上の2つの整数に因数分解できるので、合成数だと言えます。
(2)接線の性質に関する証明問題です。
まことに申し訳ないのですが、初見ではこの問題を解くことができませんでした。
厄介なのは、aがただの定数だと言う事で、たまたまf(a)=af(1)になるようなaがあった、というだけな点です。
接線が(0,0)を通ると言う事で、x=tでの接線の式を出して、f(t)=tf'(t)となるtがあることを示そうというアイデアには至ったものの、f(a)=af(1)の使い道がイマイチ分からず。
平均値の定理を使えば、f(1)=f'(c)となるcが1<c<aにあることは分かるのですが、だから何だよという話になってしまい、挫折した次第です。。
[3/1追記]
結局(2)は自力で解けなかったので、ついに予備校の解答速報を覗いてしまいました。。
「f(t)=tf'(t)となるtがあることを示そう」という全体方針と「平均値の定理を使う」というアイデアは合っていたようです。結構いい線行っていました。。
問題は、どの関数で平均値の定理を使うか?答案にあった関数は、g(x)= f(x)/xでした。言われてみればああそうだよなぁ・・と思えるものですが、これを初見で思いつくのはかなり厳しいでしょう。
<筆者の回答>
(2)は解き切れていなかったので、途中までになっています。
[3/1追記] (2)の答えを追記した答案を追加します。