皆さん、こんにちは。
突然ですが、「角度」ってどう表してきましたか？
日常的には、「直角は90°」だとか、「意見を180°変えた」とか、「ピサの斜塔は3°傾いてるんだ」とか、「10°の坂って結構な急こう配だよね」とか、「度」で表現しますよね。実際、小中学校に至るまでずっと角度は「度」で教わってきたはずです。
（「度」を単位にした角度の表記法を、「度数法」といいます）
しかし、高校で「三角関数」を習い始めると、いきなり角度を「π/2」とか表現しだして「度」なんて忘れちゃったんじゃないか、という勢いで以後この表記法ばかりでゴリ押されたと思います。この表記法を「弧度法」と呼び、単位は「ラジアン」と読みます。
数学の世界においては、角度は「度数法」ではなく「弧度法」で表現するのが実は一般的であり、それにはれっきとした理由があるのです。
今回の記事では、なんで「弧度法」という角度の表現方法があって、それがどう便利なのか？について紹介します。
1. ラジアンの定義
半径1の円から、中心角θの扇形を一部切り取ってみます。
このとき、切り取られた円周＝円弧の長さはいくつになるでしょうか？
度数法の世界では、
直径×円周率×（中心角÷360°) = (θ/360)π
となりますね。θが30°とか60°みたいな角度であればすっきりしますが、そうでない角度だと360という大きな数字が入って少々式の形が汚いですよね。
そこで、角度の単位を、角度と円弧が1対1に対応するように決めてあげます。
すなわち、円弧の長さがθなら、そのときの中心角を「θラジアン」と定義してあげるのです。これが「弧度法」です。
この定義に基づくと、円周全部（＝360°)の長さは2πなので、360°=2πラジアンとなります。この条件の下で、同じ円弧の長さを計算すると、
直径×円周率×（中心角÷2π) = θ
と非常にすっきりするわけです。
さらに相似の関係を使えば、半径rで中心角θラジアンの扇形の円弧・面積はそれぞれ、
直径×円周率×（中心角÷2π) =rθ
半径×半径×円周率×（中心角÷2π) = r^2×θ/2
とこれまたすっきりした形になるわけです。このようにきれいな形で円弧と面積が計算できるのが、「ラジアン」を使う利点になります。
ただ、これだけだと何故数学の世界でもっぱら「ラジアン」を使うのかの根拠としては弱いですね。この「ラジアン」が真価を発揮するのは、微積分の場面です。
2. なぜ数学では「ラジアン」を使うのか？
今、y=sinx という関数を微分してみましょう。定義に従うと以下のように計算されます。
ここで、sinh/h (h→0)の極限が収束することに注意します。この極限値をαとしたとき、sinxの微分はαcosxとなることが分かります。このとき、αの値がどうなるかを考えてみましょう。
αを求めるときは、直角三角形と扇形の面積の大小関係を使います。以下の図では、扇形の面積が、2つの直角三角形の面積でサンドイッチされる形になります。
このとき、前セクションで説明した通り、扇形の面積が度数法と弧度法とで違う形になるわけです。
もし度数法で計算したとすると、
となってα=π/180となります。つまり、度数法で角度を考える限りsinxの微分はπ/180×cosx となって汚くなってしまうのです。
ところが、もし弧度法で計算すると、
となってα=1となります。つまりラジアンで角度を考えるとsinxの微分はcosxとすっきりするのです。
y=cosxの微分に関しても全く同様です。
学校で、sinの微分はcos, cosの微分は-sinと何気なしに覚えてきたわけですが、こんなすっきりした形になるのは、ラジアンの恩恵だったという事です。このおかげで、複雑な関数を微積分する際にもすっきりと計算が進むわけです。
逆に度数法で角度を考えると、三角関数を微分するたびにいちいちπ/180という余計な係数が出てきてぐちゃぐちゃになってしまうわけです。
これこそが、微積分の分野、ひいては数学において一般的に角度の単位として「度」ではなく「ラジアン」を採用する理由です。
余談：じゃあなんで度数法を習うの？
ここまで聞いてしまうと、「度数法」が役立たずのように思えてきて、「じゃあなんで最初から弧度法を教えないんだ？」って疑問がわいてきますよね。
それは、度数法だと直角とかその他重要な角度がことごとく整数の値になるとっつきやすさにあるのではないかと思います。
そもそも円周率πは3.14159・・・と続く無理数で、さらにそれを使って重要な角度が、
30°＝π/6
45°=π/4
60°=π/3
90°＝π/2
などと分数の形になるので余計に取っ付きづらくなってしまうわけです。ラジアンだと。最初からこの表示での角度を教えた日には、この世の数学嫌いの子供を激増させてしまいますね笑
だから度数法のままでも特に不都合の起きない小中学生までは、ないし日常会話ではラジアンをわざわざ持ち出すでもなく度数法で十分というわけです。
ちなみに全周が360°という数字になった理由は諸説あるようですが、有力なものとして、
1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,18,20,24,30,36,40,45,60,72,90,120,180,360と、豊富な約数を持っていて分割しやすく、なおかつ7以外の1~10の数すべてを約数に持っているから、という説が挙げられています。
以上余談でした。
