このシリーズでは、平成の北大理系数学の後期入試の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
5回目の今回は2015年になります。
第1問
積分の計算問題です。
(1) logの入っている積分は、反対の関数を積分することで部分積分を行うのが定石です。
(2) g(x)を素直に求めて微分すればOKです。
＜筆者の解答＞
第2問
cosを含んだ漸化式の問題です。
(1)cos2θが計算出来れば十分でしょう。
(2) cosの加法定理を使うのですが、その際sinの項が出てきて邪魔になるので、cos(n+1)θとcos(n-1)θの和を考えてあげればsinを消すことができます。
(3) anの中に途中でpの倍数が出てくると仮定し、(2)の漸化式を使って矛盾を導きます。
＜筆者の解答＞
第3問
楕円と2本の直交する直線との交点を考える問題です。
(1) Pの座標の極座標表示を求める問題です。座標の式をEに代入してあげればよいでしょう。
(2) Pの座標を(1)で出てきたものとして図を書いてあげると、Qについてはθからさらに180°回転したもの、R,Sはθからさらに±90°回転したもの、と考えることができます。
＜筆者の解答＞
第4問
領域の面積を求める問題です。
a,bの不等式をうまくx,yの不等式に置き換えてしまいましょう。aについてはx=aなので置き換えは簡単で、0≦x≦pとなります。yについてはx-3≦b-3≦x-1となります。
このyについての不等式を正しく同値変形できるかがカギになります。
(1)p=1なら、x-1≦0なので、2乗すると全ての大小関係が逆転します。
(2)p=5なら、x-3≦b-3≦x-1が0を跨ぐ場合が出てくるので、xの値で場合分けしないと同値変形がうまくいきません。
領域が求まったら、どちらについても簡単な積分でSが求まります。
＜筆者の解答＞
